Теоретическая механика / Лекция 5. Частные случаи равновесия твёрдого тела |
Теорема. Три силы уравновешивают твёрдое тело только в том случае, когда все они лежат в одной плоскости.
Доказательство. Выберем за точку приведения точку на линии действия третьей силы. Тогда (рис.22)
Рис.22.
То есть плоскости S1 и S2 совпадают, причём для любой точки на оси силы , ч.т.д. (Проще: в плоскости только там же для уравновешивания).
Условия равновесия твёрдого тела с одной неподвижной точкой. Центр приведения – закреплённая точка (рис.23):
Рис.23. Моменты (условия равновесия):
Для определения реакций => результирующая:
; ; . Условия равновесия твёрдого тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси.
Рис.24.
Закреплены две точки О и О1. Центр приведения: точка О (рис.24). ; Rx, Ry, Rz в точке О; R`x, R`y, R`z в точке О1; ОО1 = h. Уравнения равновесия:
Положение тела в пространстве определяется одним параметром, например, углом поворота , который определяется из последнего уравнения: . Остальные 5-ть уравнений => нахождение 6-ти проекций реакций связи => задача статически неопределимая. Требуются дополнительные условия деформирования (в сопротивлении материалов).
Условия равновесия твёрдого тела, способного перемещаться параллельно неподвижной плоскости (рис.25).
Рис.25.
Уравнения равновесия:
где , , – проекции активных сил, приложенных в точках (, , ). Два первых и последнее уравнения – необходимые условия равновесия. Три остальных => реакции, то есть только для закрепления в трёх точках. Иначе => статически неопределимая задача.
Случай опоры на три точки. Для определения реакций имеем:
, где , . Решение имеется только при условии:
,
то есть три точки опоры не лежат на одной прямой. Иначе, статическая неопределимость.
Пример. Рис.26.
Если дано, что опора упругая => .
Тогда для реакции: (удобно взять начало координат в одной из опор).
Контрольные вопросы: 1. В каком случае три силы уравновешивают твёрдое тело? 2. Как выглядят условия равновесия тела с одной неподвижной точкой? 3. Напишите уравнения равновесия тела, способного вращаться вокруг неподвижной
оси. |