Теоретическая механика / Лекция 10. Формула Эйлера |
Найдём число координат, определяющих положение абсолютно твёрдого тела. Определить положение тела => определить координаты точки относительно некоторой системы отсчёта в момент времени.
Рис.38.
Пусть Х1 , Х2 , Х3 – неподвижные оси (рис. 38); орты: [декартова система]. , , - оси, жёстко связанные с телом; орты: , , - [декартова система]. Так как координаты точек относительно собственных осей , , не зависят от времени, то задача сводится к определению положения координатных осей, жёстко связанных с телом (подвижных), относительно неподвижных осей Х1 , Х2 , Х3. Составим таблицу косинусов углов между осями Х и :
- скалярное произведение.
Так как системы координат ортогональны, то скалярное произведение: , где Итак: Число таких соотношений = 6 (Из 9 – ти в силу симметрии по jи k). Имеем 6 соотношений для 9 косинусов => 3 косинуса , не расположенные в одном столбце, или в одной строке, могут быть приняты за независимые, а остальные можем определить из составленных 6 – ти соотношений. Кроме того => три координаты определяют положение точки О’ – начало системы , , . Но 9 координат и 3 соотношения длин:
Это условия постоянства расстояний между точками в абсолютно твёрдом теле. Выведем формулу Эйлера для распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела (рис. 39).
1) , - скорость точки О’, - скорость точки Q во вращательном движении тела (так как длина постоянна). Так как координаты точки Qпостоянны, то
Тогда: 2) , где . Скорость точки Q: . 3) Выразим и производные через направляющие косинусы : . Тогда: (в неподвижной системе). 4) Проекция на ось (k= 1,2,3): . Скорости точек во вращательном движении – линейные функции координат точек. 5) Получим более простую и наглядную форму закона распределения скоростей, используя свойства функции . , Дифференцируем по t: . По свойству производной от произведения: при j= k => , при j≠ k=> .
Свойства: а) симметрия по kи j; б) при j= k=>равенство «0»; в) размерность t-1 , т. е. угловая скорость (угол в радианах), так как - скорость. г) различных только три => Покажем, что
Действительно:
- по аналогии.
Итак:
или: 7) , где - единичные вектора, жёстко связанные с телом.
Положим - вектор, где
8) Тогда:
Назовём вектором мгновенной угловой скорости, а прямая на которой он располагается, в рассматриваемый момент времени, проходящую через точку О’ – осью мгновенного вращения, или мгновенной осью. Таким образом, закон распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела в любом движении:
. Это формула Эйлера в векторной записи.
Контрольные вопросы: 1. Сколько координат определяют положение твёрдого тела в пространстве? 2. Что называется вектором мгновенной угловой скорости? 3. Напишите формулу Эйлера. |