Четыре лекции по кинематике материальной точки

Понятие вектора и основные операции векторной алгебры мы считаем известными из курса физики средней школы. Так, вектор — это физическая величина, определяемая величиной и направлением, которые не зависят от выбора системы координат. Он отличается от скаляра, который характеризуется только величиной (не зависящей от системы координат). К скалярным величинам относятся масса, энергия, температура, электрический заряд, путь, пройденный частицей, и т. д. Примерами векторов являются скорость, ускорение, сила, напряженность электрического и магнитного полей. В качеcтве дополнения к приведенному определению следует указать, что не всякие направленные величины являются векторами, а только такие, которые складываются геометрически, то есть по правилу параллелограмма.

Пример. Как мы видели, угол поворота тела вокруг какой-то оси можно, казалось бы, рассматривать как вектор в том смысле, что он имеет численное значение, равное углу поворота, и направление, совпадающее с направлением оси вращения, котоpое определяется по правилу буравчика. Однако два таких поворота не складываются по закону сложения векторов, если только углы поворота не являются бесконечно малыми.

В качестве примера рассмотрим два последовательных поворота на угол π вокруг двух осей, пересекающихся под углом φ (Oa и Ob) (pис. 1).

Рис. 1. Произведение двух поворотов.

При первом повороте на угол π вокруг оси Oa точка P переходит в P', а P' — в P. При этом ось Oa остается на месте. При втором повороте на угол π вокруг оси Ob P'→ P и P→ P', то есть точки P и P' возвращаются на свои места.

Таким образом, после двух поворотов линия PP' (перпендикулярная плоскости aOb) остается неподвижной и, следовательно, является осью результирующего поворота. Для определения угла этого поворота замечаем, что в результате первого поворота ось Oa остается на месте, а после второго — переходит в позицию Oa', образующую с Oa угол 2φ. Таким образом, два последовательных поворота вокруг осей Oa и Ob представляют собой поворот вокруг оси PP' (на угол 2φ), перпендикулярной плоскости ab. Если считать каждый поворот вектором, направленным вдоль Oa и Ob соответственно, то «сумма» этих векторов должна лежать в плоскости ab, в то время как вектор результирующего поворота перпендикулярен этой плоскости. В результате правило «сложения» этих двух векторов (поворотов) не соответствует правилу параллелограмма. Более того, заметим, что при изменении порядка поворотов (сначала вокруг оси Ob, а затем вокруг оси Oa) получается поворот в противоположном направлении, то есть результат этого «сложения» некоммутативен, он зависит от порядка, в каком производятся эти повороты¹.

Правилу сложения векторов подчиняются только повороты на бесконечно малый угол, поэтому, например, угловые скорости ω₁ и ω₂ можно складывать, в результате чего будем иметь вращение с угловой скоростью ω = ω₁ + ω₂.

Как мы уже знаем, для задания вектора в трехмерном пространстве достаточно задать три числа — его проекции, например на оси декартовой системы координат:

${\bf r}=x_1{\bf n}_1+ x_2{\bf n}_2+ x_3{\bf n}_3= \sum_{i=1}^3 x_i{\bf n}_i \equiv x_i{\bf n}_i,$

(1)

где x₁, x₂, x₃ — проекции, а n₁, n₂, n₃ — единичные векторы (орты), направленные вдоль трех взаимно перпендикулярных осей. Последний знак тождественного равенства отражает так называемое правило суммирования Эйнштейна — по дважды повторяющимся индексам (i в данном случае) подразумевается суммирование². Если мы повернем координатную систему, то в новой системе координат проекции того же самого вектора r на оси новой системы будут уже другими, другими будут и единичные орты n₁', n₂', n₃' (pис. 2).

Рис. 2. Старая и новая (повернутая) системы координат.

Вектор r можно записать и в новой системе координат как

${\bf r}=x_1'{\bf n}_1'+x_2'{\bf n}_2'+x_3'{\bf n}_3'= \sum_{i=1}^3 x_i'{\bf n}_i'\equiv x_i'{\bf n}_i'.$

(2)

Оба выражения представляют собой один и тот же вектор, поэтому они равны:

Домножим скалярно это равенство последовательно на n₁, n₂ и n₃ и воспользуемся взаимной ортогональностью векторов n₁, n₁ и n₃:

x₁	=	x₁'(n₁· n₁')+ x₂'(n₁· n₂')+ x₃'(n₁· n₃'),
x₂	=	x₁'(n₂· n₁')+ x₂'(n₂· n₂')+ x₃'(n₂· n₃'),	(4)
x₃	=	x₁'(n₃· n₁')+ x₂'(n₃· n₂')+ x₃'(n₃· n₃').

В результате мы получили соотношение, выражающее старые проекции через новые. Можно было бы выразить новые проекции через старые. Для этого надо вышеупомянутое равенство r в двух системах координат (3) домножить скалярно на n₁', n₂' и n₃'. Например, таким образом получаем

характеризующие ориентацию новой системы координат относительно старой, называются направляющими косинусами. Используя их, получим

x₁	=	x₁'α₁₁+ x₂'α₁₂+ x₃'α₁₃,
x₂	=	x₁'α₂₁+ x₂'α₂₂+ x₃'α₂₃,	(7)
x₃	=	x₁'α₃₁+ x₂'α₃₂+ x₃'α₃₃.

Если использовать правило суммирования Эйнштейна, то эти три равенства можно записать компактно в виде одного равенства

Здесь i — это так называемый свободный индекс, который пробегает три значения, i = 1,2,3. По немому индексу k производится суммирование от 1 до 3. Обратное преобразование столь же компактно запишется в виде

Вектором A мы будем называть физическую величину, характеризуемую тройкой чисел A₁, A₂, A₃, которые при повороте координатной системы преобразуются по закону (8):

A_i = α_ikA_k' , (10)

то есть так же, как координаты x₁, x₂, x₃.

А поворот системы координат характеризуется матрицей направляющих косинусов (или просто матрицей поворота)

$\hat{\alpha} = \left( \begin{array}{lll} \alpha_{11}& \alpha_{12}& \alpha_{13}\\ \alpha_{21}& \alpha_{22}& \alpha_{23}\\ \alpha_{31}& \alpha_{32}& \alpha_{33} \end{array} \right).$

(11)

Выясним свойства элементов этой матрицы. Для этого выразим старые орты через новые:

${\bf n}_1=\alpha_{11}{\bf n}_1'+ \alpha_{12}{\bf n}_2'+ \alpha_{13}{\bf n}_3'= \sum_{i=1}^3 \alpha_{1i}{\bf n}_i'= \alpha_{1i}{\bf n}_i'.$

(12)

$1= \alpha_{11}\underbrace{({\bf n}_1\cdot {\bf n}_1')}_{\alpha_{11}}+ \alpha_{12}\underbrace{({\bf n}_1\cdot {\bf n}_2')}_{\alpha_{12}}+ \alpha_{13}\underbrace{({\bf n}_1\cdot {\bf n}_3')}_{\alpha_{13}}.$

(13)

то есть сумма квадратов направляющих косинусов первой строки матрицы $\hat{\alpha}$ равна единице. Аналогичным образом записав

можно после скалярного умножения этого равенства на n₂ получить

то есть сумма квадратов элементов каждой строки матрицы $\widehat{\alpha}$ равна единице. Точно так же можно доказать, что сумма квадратов элементов каждого столбца матрицы $\widehat{\alpha}$ равна единице. Например,

и умножим его скалярно на вектор n₂, ортогональный вектору n₁:

0 = α₁₁(n₁'· n₂)+ α₁₂(n₂· n₂') + α₁₃(n₂· n₃'),

(20)

Таким образом, попарное произведение элементов первой строки матрицы повоpота на вторую и последующее суммирование дают нуль. Точно так же можно показать, что нуль дадут любые два попарные произведения разных строк друг на друга. Об этом свойстве говорят как о взаимной ортогональности строк матрицы $\widehat{\alpha}$ . Аналогичным образом можно доказать ортогональность столбцов матрицы $\widehat{\alpha}$ . Все эти свойства, используя правило суммирования Эйнштейна, можно коротко записать в виде

Первое равенство выражает собой ортогональность и нормировку строк, а второе, соответственно, столбцов. Свободные индексы i и j — два произвольных индекса из набора 1, 2, 3, а по дважды повторяющимся (немым) индексам (k) в формуле (22) подразумевается суммирование. Символ δ_ij, определяемый равенством

$\delta_{ij}= \left{ \begin{array}{lll} 1, & i=j,\\ 0, & i \not= j, \end{array} \right.$

(23)

— это так называемый символ Кронекера. Символ Кронекера также можно записать в виде матрицы

$\delta_{ij}= \left( \begin{array}{lll} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right).$

(24)

У нее на диагонали стоят единицы, а все остальные (недиагональные) элементы равны нулю. Очевидно, что так же выглядит матрица тождественного преобразования, когда новая координатная система совпадает со старой.

Пользуясь свойствами матрицы $\widehat{\alpha}$ , легко доказать, что скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат:

Старые и новые проекции связаны соотношениями

$\begin{array}{rcl} A_i&=&\alpha_{ik}A_k',\\[5pt] B_i&=&\alpha_{ij}B_j'. \end{array}$

(26)

Умножим их друг на друга и воспользуемся ортогональностью столбцов матрицы $\widehat{\alpha}$ :

В результате мы получили, что A_iB_i = A_j'B_j', то есть скалярное произведение A· B инвариантно относительно поворота системы координат.

Найдем вид матрицы $\widehat{\alpha}$ для одного частного случая, когда система координат поворачивается на угол φ вокруг оси z.

Рис. 3. Поворот системы координат на угол φ вокруг оси z.

Поскольку $\alpha_{ik}=\cos (\widehat{ik'})$ , то, глядя на рис. 3, легко находим

$\widehat{\alpha}(\varphi )= \left( \begin{array}{ccc} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right).$

(28)

До сих пор речь шла о поворотах систем координат. Однако, как известно, существует две системы координат, правая и левая. Очевидно, что при поворотах правая система координат всегда остается правой, а левая — левой. Но существуют такие преобразования координат, которые правую систему преобразуют в левую и наоборот. Например, это может быть инверсия одной из осей, y→ –y (pис. 4).

Рис. 4. Пpеобpазование компонент вектоpа пpи инвеpсии одной из осей.

Очевидно, что при этом между проекциями одного и того же радиус-вектора r в новой и старой координатных системах имеются следующие соотношения:

$\begin{array}{l}x=x',\\ y=-y',\\ z=z', \end{array} \widehat{\alpha}= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right).$

(29)

Поскольку $\cos (\widehat{yy'}) = -1$ , то координаты радиус-вектора пpи инвеpсии одной из осей преобразуются по тем же правилам, что и при поворотах системы координат. Но это оказывается справедливым не для всех векторов.

Рис. 5. Вектор угловой скорости.

Рассмотрим, например, вектор угловой скорости ω, описывающий вращение в положительном направлении вокруг оси z (pис. 5). Изменим теперь знак одной из осей, например оси y. Это можно себе представить как отражение системы координат в зеркале, плоскость которого перпендикулярна этой оси (pис. 6).

Рис. 6. При таком зеркальном отражении направление вращения меняется на противоположное!

Однако очевидно, что при отражении в зеркале изменяется и направление вращения. Из вращения по часовой стрелке оно превратилось во вращение против часовой стрелки, то есть изменился знак проекции вектора ω на ось z,

в то время как координата z обычного радиус-вектора осталась бы прежней,

Это означает, что радиус-вектор точки r и угловая скорость ω преобразуются по-разному, если поменять правую систему координат на левую.

В связи с этим радиус-вектор r называют полярным вектором, а вектор угловой скорости ω — аксиальным вектором. При поворотах системы координат оба вектора преобразуются одинаковым образом:

$\begin{array}{rcl} x_i&=&\alpha_{ik}x_k',\\[5pt] \omega_i&=&\alpha_{ik}\omega_k'. \end{array}$

(32)

Но если матрица $\widehat{\alpha}$ переводит правую систему координат в левую (и наоборот), то законы преобразования этих векторов не совпадают:

$\begin{array}{rcl} x_i&=&\alpha_{ik}x_k', \\[5pt] \omega_i&=&-\alpha_{ik}\omega_k', \end{array}$

(33)

Примерами полярных векторов в физике являются радиус-вектор, скорость, ускорение, сила:

${\bf r}, {\bf v}= {d{\bf r}\over dt}, {\bf a}= {d{\bf v}\over dt}, {\bf F}=m{\bf a}.$

(34)

Примеры аксиальных векторов: угловая скорость ω, напряженность магнитного поля H, момент импульса M.

При инверсии системы координат (то есть пpи изменении знака всех осей) правая система переходит в левую и полярные векторы меняют свой знак:

$\begin{array}{rcl} {\bf r}&\rightarrow&-{\bf r},\\ {\bf v}&\rightarrow&-{\bf v},\\ {\bf a}&\rightarrow&-{\bf a},\\ {\bf F}&\rightarrow&-{\bf F}, \end{array}$

(35)

а аксиальные векторы при этом не изменяются (потому что их закон пpеобpазования отличается знаком минус):

$\begin{array}{rcl} {\bf\omega}&\rightarrow&{\bf\omega},\\[5pt] {\bf H}&\rightarrow&{\bf H}. \end{array}$

(36)

В физике все физические законы должны выражаться в инвариантной форме, то есть не должны зависеть от выбора системы координат. Это, в частности, означает, что невозможно, напpимеp, равенство аксиального и полярного векторов, потому что оно будет выглядеть по-разному в левой и правой системах координат. Например, если некий закон в правой системе выглядит как

Таким обpазом, физический закон выглядит по-разному в левой и правой системах координат, в природе же такого различия не существует. Левая система ничем не хуже правой. По той же причине нельзя складывать (вычитать) аксиальный и полярный векторы, так же как нельзя складывать величины разной размерности, например секунды и граммы.

Поэтому всегда при записи какого-либо векторного равенства необходимо проверять, не изменяется ли оно при переходе от правой системы координат к левой. Поскольку правая система координат переходит в левую при инверсии, а закон преобразования векторов при инверсии выглядит особенно просто,

$\begin{array}{rcl} \mbox{\bf пол}&\rightarrow&-\mbox{\bf пол} (знак изменяется),\\[5pt] \mbox{\bf акс}&\rightarrow& \mbox{\bf акс} (знак не изменяется), \end{array}$

(39)

то нужно к обеим частям равенства применить инверсию.

Например, исследуем таким образом равенство

для скорости движения материальной точки, радиус-вектор которой r вращается с угловой скоростью ω. Поскольку v — полярный вектор (производная от полярного вектора r по времени), то при инверсии левая часть равенства меняет знак. Чтобы равенство осталось инвариантным по отношению к инверсии, необходимо, чтобы и правая часть [ω× r] изменила знак при инверсии. Угловая скорость при инверсии не изменяет свой знак (это аксиальный вектор), а радиус-вектор r — изменяет (это полярный вектор). Поэтому

то есть и правая часть нашего равенства изменила знак при инверсии, а следовательно, это тоже полярный вектор. Таким образом, после инверсии системы координат равенство осталось прежним,

и мы, следовательно, имеем равенство двух полярных векторов.

Из этого рассуждения можно легко прийти к выводу, что векторное произведение двух полярных векторов есть вектор аксиальный,

$\left[ \mbox{\bf пол}_1\times \mbox{\bf пол}_2 \right] = \mbox{\bf акс},$

(43)

поскольку при инверсии левая часть знака не изменяет:

$\left[(-\mbox{\bf пол}_1)\times (-\mbox{\bf пол}_2)\right] = \left[\mbox{\bf пол}_1\times \mbox{\bf пол}_2\right].$

(44)

Векторное произведение двух аксиальных векторов также является аксиальным вектором.

А что будет, если скалярно перемножить между собой полярный и аксиальный векторы?

Полученная величина, очевидно, инвариантна к любым пространственным поворотам системы координат, то есть можно сказать, что она является скалярной. Однако это не совсем обычный скаляр, так как он изменяет знак при инверсии системы координат. Такую величину называют псевдоскаляром. Например, если бы существовал элементарный магнитный заряд, то он был бы псевдоскалярной величиной. Таким образом, скалярные величины бывают двух типов: истинный скаляр, инвариантный к любым преобразованиям системы координат (не только к вращениям, но и к инверсии), и псевдоскаляр, инвариантный к вращениям и меняющий знак, когда правая система переходит в левую (и наоборот).

¹На самом деле правильно говорить не о сумме, а о произведении поворотов, так как матрицы направляющих косинусов двух последовательных поворотов перемножаются.

²Индекс i называется немым индексом. Его можно обозначать любой буквой.