Примеры, задачи и вопросы по векторной алгебре  
к курсу
Линейная алгебра

Пример: Угол между векторами
Даны a^.b = 5, |a| = 2, и |b| = 7. Находим угол между векторами как Arccos :  .

 
Пусть  и .
Для вычисления косинуса угла между векторами нужно знать само скалярное произведение векторов и их модули:

Пример: Тангенциальные и нормальные векторы

На этом рисунке вектор t называют тангенциальным (или касательным), поскольку он направлен вдоль касательной к кривой (траектории) в ее точке Р. Вектор n называют нормальным вектором. Он перпендикулярен тангенциальному вектору и направлен в сторону вогнутости траектории. Показаны также антинаправленные вектора (-1)t и (-1)n.
Пусть уравнением траектории будет парабола y = x² . Наклон ее дается производной dy/dx = 2x. Возьмем точку траектории Р с координатами (1,1). Наклон касательной в этой точке будет равен  . Сама касательная пусть дается уравнением y = 2x - 1. Чтобы определить вектор t, нужны две точки. Одна его точка (1,1) есть. Это точка начала вектора t. Второй точкой будет, например, точка (2,3) - точка конца вектора. Проекциями вектора t на оси x и y будут разности (2 - 1) и (3 - 1). Поэтому сам вектор записывается как t = 1 i + 2 j. Его модуль и собственный орт равны
  

[Получите это выражение самостоятельно и обратите внимание на определенную симметрию проекций обоих ортов].

Найдем скалярное произведение ортов:. Тем самым убеждаемся, что векторы t и n действительно ортогональны.

Пример: Параллельные векторы

Найдем линию, параллельную вектору v и проходящую через точку Р.
Нужно найти координаты x, y, z такой точки Q, чтобы прямая PQ была параллельна вектору v.
Введем вектор PQ = (x - x₀) i + (y - y₀) j + (z - z₀) k вдоль искомой линии PQ. Он произвольно выбран антинаправленным с вектором v. Воспользуемся тем обстоятельством, что параллельные векторы должны быть пропорциональны друг другу:
t * v = PQ. Тогда (x - x₀) i + (y - y₀) j + (z - z₀) k = t(v_xi + v_yj + v_zk). Приравнивая проекции при одинаковых ортах, получим координаты искомой точки Q:
x = x₀ + t v_x , y = y₀ + t v_y , z = z₀ + t v_z , где t - произвольное число. Тройка этих равенств дает уравнение искомой прямой в параметрической форме.

Пример: Работа силы по перемещению тела

Пусть тело движется прямолинейно под действием внешней постоянной силы F, приложенной к телу под углом к вектору перемещения s.
Работа силы равна скалярному произведению W = F ^. s .

Задача вычисления работы усложняется, если сила переменная и тело движется по криволинейной траектории. Рассмотрим для простоты плоское движение. На рисунке тело движется по криволинейной траектории снизу вверх под действием внешней переменной силы F(t). Положение тела на траектории в данный момент времени (мгновенное положение тела) задается радиус-вектором r(t). Радиус-вектор всегда берет свое начало в центре системы координат (0, 0) и заканчивается в точке центра тяжести тела. Положению Р тела (его центра тяжести) на траектории соответствут момент времени t. В последующий бесконечно близкий момент времени t' = t + dt радиус-вектор тела станет равным r(t') = r(t) + dr,

где вектор dr называют вектором перемещения. Элементарная работа силы, очевидно, равна dW = F ^. dr. Тогда за конечный интервал времени t(f) - t(0) работа переменной силы равна Все сказанное справедливо и для случая 3-хмерного координатного пространства.

Пример: Момент вращения тела

На этом рисунке внешняя сила, приложенная к телу, вращает его вокруг оси z, перпендикулярной плоскости (экрана) xy и направленной от экрана к вам (правая система координат). Вектор силы F лежит на линии действия силы. Для упрощения расчетов и самого рассмотрения радиус-вектор проведен от центра выбранной системы координат (как обычно) перпендикулярно к линии действия силы (обычно до точки приложения силы). Величину радиус-вектора в этом случае называют иногда плечом силы.

Момент силы (вращательный момент, момент вращения) определяется как T = r x F = |r| |F| |sin (r ^ F)| k и направлен по оси z от экрана к вам (правая тройка векторов r, F, T: именно поэтому в качестве орта момента выбран орт k оси z).
Поскольку угол r ^ F прямой, то величина момента равна просто |T| = |r| |F|.


 

Какие из нижеследующих уравнений не всегда верны?

1. A x B = B x A
2. A x (B + C) = A x B + A x C
3. A x (-A) = 0 = 0
4. [A x B] B = 0
5. A [B x C] = (AB) x C
6. [A x B] A = B [A x B]
7. [A x A] A = 0
8. [A x B] C = [B x C] A

1. Это уравнение не всегда верно. Оно верно, если только векторы параллельны (сонаправлены или антинапрвлены). В противном случае всегда имеет место антикоммутативность векторного произведения A x B = - B x A. Равенство A x B = 0 есть условие параллельности векторов или иначе - параллельности прямых линий, вдоль которых ориентированы векторы А и В.
2. Это уравнение справедливо всегда.
3. Это уравнение справедливо всегда, поскольку векторное произведение двух произвольных параллельных векторов всегда есть нуль-вектор или просто нуль.
4. Это уравнение справедливо всегда, поскольку векторное произведение есть вектор, перпендикулярный к вектору В, а скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.
5. Это уравнение всегда неверно и не имеет смысла, поскольку в его правой части скаляр (AB) векторно множится на вектор, а такая операция в алгебре векторов не существует.
6. Это уравнение всегда верно, т.к. эквивалентно равенству 0 = 0 : см. 4-ый вопрос выше.
7. Это уравнение всегда верно, поскольку векторное произведение вектора самого на себя равно нулю, а произвольный вектор, помноженный на нуль, есть нуль.
   Это уравнение верно всегда.