Гуковский М.А. Механика Леонардо да Винчи, 1947

Предыдущая страницаСледующая страница

Часть четвертая. МЕХАНИКА ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ - Глава 3. ВЕС И РЫЧАГ

§ 1. Теория рычага

В процессе подведения серьезной научной базы под свою обширную и разностороннюю техническую деятельность, отвечавшую насущнейшим запросам бурной эпохи итальянского Возрождения, Леонардо да Винчи пришлось вплотную подойти к изучению законов движения; они под его руками, сохраняя свою роль фундамента всего механического здания, приобретают совершенно новый и несравненно более конкретный характер, чем в трудах его предшественников. Естественно, значительно более углубленно и внимательно он должен был заняться тем, что мы в предыдущем изложении условно называли конкретной механикой: большая часть задач, которые ставила перед инженерами XV в. строительная техника (а ею они занимались в первую очередь), относилась к статике, к области которой относится и почти вся конкретная механика античности и феодализма. Естественно поэтому, что, занимаясь в числе прочих отраслей, так же, как его товарищи по техническому искусству, строительной техникой, Леонардо начинает с раннего миланского периода своей научной деятельности упорно и по- стоянно работать над статическими (по нашей терминологии) проблемами конкретной механики. Уже Витрувий, являвшийся, как мы отмечали, одним из кумиров Возрождения, а за ним Леон Баттиста Альберти пытались, хотя и довольно элементарно и неудачно, применять отдельные положения конкретной механики к проблемам строительной техники. При этом, если Витрувий придавал теории значение только контролирующей, проверочной инстанции, Альберти — сын века, в котором техника развивается значительно более интенсивно и играет вообще значительно большую роль, привлекает ее уже в качестве непосредственного помощника, в качестве органической составной части самой технической работы.

Но, привлекая конкретную механику на помощь технике, в первую очередь строительной, Альберти еще очень беспомощен в обращении с нею. Она не является в его руках сколько-нибудь действенным оружием, хотя он и стремится сделать ее таковым. Леонардо в этом отношении, как и в ряде других, идет по пути, намеченному Альберти, но идет гораздо дальше и решительнее. Приведенная выше его объяснительная записка к модели купола Миланского собора говорит о том, что для него наука, и в частности именно конкретная механика, становится уже действительно основой технической деятельности, стоящей на надлежащей качественной высоте. Естественно поэтому, что он принялся за освоение и переработку богатого научного наследия в области конкретной механики с целью приспособления его к нуждам техники.

Основой, центром всей конкретной механики до Леонардо было учение о весах или рычаге первого рода, распространяемое далее и на рычаг второго рода. Учение это во всех механических работах, от "Механических проблем" до различных вариантов трактата Иордана Неморария и до писаний Биаджио Пелакани, разрабатывалось с различных точек зрения, но все более углубленно и детально. Естественно поэтому, что Леонардо, обратившись, очевидно, в начале своего пребывания в Милане, к литературе по конкретной механике, для разрешения ряда технических задач, поставленных перед ним его практической Деятельностью, натолкнулся в первую очередь на учение о статике сооружений, разного рода перекрытий, балок и т. п. и, с другой стороны, на технику производства строительных работ — конструкций кранов, блоков,. подъемных приспособлении. Учение о рычаге, привлекавшееся в этой связи, как уже сказано и Витрувием и Альберти, пришлось как нельзя более кстати. Он приступает к его освоению и переоформлению.

Как мы подробно разобрали в первой части настоящей работы, самый закон соотношения между грузами и длинами плеч на весах был сформулирован вполне четко уже в "Механических проблемах" и затем повторялся во всех сочинениях по механике с IV по XV в. н. э. Естественно поэтому, что и Леонардо многократно и в разных выражениях формулирует закон рычага. Так, в начале кодекса "А" он пишет:

"Ту же пропорцию, которая существует между длиной рычага и его противорычага, ты найдешь между величиной их весов и медленностью движения и в величине пути, проходимого каждым из их концов, когда они достигнут постоянной высоты своей точки опоры" (А. 45 r.).

Или еще более элементарно:

"О природе рычага. Столько же делают 10 фунтов на конце рычага, сколько 20 в середине и сколько 40 в четверти" (А. 35 v.) (рис. 73).

Однако, как нам известно, центр значительной части работ по конкретной механике лежал не в формулировке закона рычага, подсказывавшейся элементарным наблюдением, а в доказательстве этого закона, его теоретическом обосновании. Мы видели, что, начиная с "Механических проблем", доказательства закона рычага стараются обычно свести к перипатетическому закону естественного движения ("Проблемы", первый вариант трактата Иордана Неморария), причем это сведение производится либо непосредственно, либо при посредстве специально вводимого понятия "gravitas secundum situm"; реже доказательства сводятся к перипатетическому закону движения приобретаемого ("Книга Карастуна", третий, а частично я второй варианты трактата Иордана); наконец, их сводят к нескольким основным аксиомам, определяющим понятие центра тяжести (Архимед). При этом во всех случаях между основным законом или группой аксиом, к которым сводится закон рычага, я самим законом рычага выстраивалась цепь более или менее стройных и сложных доказательств — геометрических у Архимеда, алгебраических у Табита, смешанных у Иордана. Как же подходит к этому вопросу Леонардо?

Как обычно, он начинает с того, что проверяет закон весов, в правильности которого, впрочем, он вряд ли сколько-нибудь серьезно сомневался. Так, в записи относящейся к одному частному вопросу теории весов, он пишет:

"Помести завтра два твои крайних груза во всех известных тебе пропорциях и следи за более тяжелым средним (?) грузом, как он меняет положение вследствие изменения своей тяжести и на основании всего этого выведи закон" (С. А. 238 r. а.).

То, что эти опыты не только намечались, но и действительно производились, с несомненностью подтверждает следующая ранняя (судя по почерку) запись "Атлантического кодекса":

"Та часть стержня будет легче двигаться, которая расположена дальше от места своего укрепления. И насколько будет легче движение части, более удаленной от места укрепления стержня, настолько должно быть более крепким (grieve) сопротивление в этом месте укрепления (рис. 74).

"Необходимо, чтобы единица, находясь на равном расстоянии от другой единицы, уравновешивала ее.

"Здесь одно расстояние против двух имеет два веса против одного.

"Четыре расстояния против одного требуют одного веса против четырех.

"Восемь расстояний против одного требуют одного веса против восьми".

Точно так же с поразительными терпением и настойчивостью Леонардо продолжает записи и зарисовки вплоть до 121 делений, заканчивая так:

"И если ты должен подвесить 128 весов против одного (рис 75), навесь его на расстояние единицы против 128.

"Здесь 255 составляют противовес 128 восьми на весах, грузы которых собраны из грузов 8 весов, изображенных здесь рядом" (С. А. 86 v. b.).

Приведенная выше запись является, конечно, просто фиксацией систематически проведенной серии опытов и с этой точки зрения чрезвычайно интересна. Последняя зарисовка и соответствующий текст отражают попытку свести отдельные частные наблюдения в общий закон — regola generale, что, впрочем, сделано довольно неуклюже и неудачно.

Таким образом, Леонардо, в противоположность всей научной традиции, но в полном согласии с постоянно применяемыми и теоретически обоснованными им методами, выводит закон рычага в первую очередь из серии экспериментов, а не из каких-нибудь Других законов или аксиом. Но мы знаем, что такое формулирование закона на основе серии экспериментов никогда не является в его глазах окончательной стадией работы: за ней должно обязательно следовать приведение разумных обоснований (ragioni), строго научное, с точки зрения Леонардо, доказательство; и действительно, такое доказательство он пытается дать и для закона рычага. При этом Леонардо не останавливается определенно ни на одном из приведенных выше, подсказываемых традицией, трех путей обоснования закона рычага, а в разных записях идет по разным из них. Совершенно естественно, что в более ранних записях, только начиная углубленно заниматься вопросами теоретической механики и находясь, несомненно, под влиянием писаний Иордана Неморария и его школы, Леонардо принимает два перипатетических варианта обоснования: сведение к закону естественного движения через понятие "gravitas secundum situm" или же сведение к закону движения приобретаемого.

Так, в довольно поздней, невидимому, записи "Кодекса Арундель", окончательно редактирующей значительно более раннюю запись "Атлантического кодекса" (С. А. 154 v. а.), мы читаем следующее обоснование закона рычага:

"Всякое весомое тело стремится к середине, и то положение, которое — будет более наклонным, больше сопротивляется ему, и то тело окажется более тяжелым, которое будет иметь более слабое сопротивление, и то сопротивление будет более слабым, которое более удалено от своей точки укрепления. Равные веса окажутся в той же пропорции, как и их сопротивление. Так, m (рис. 76) по весу равно n, и так как его сопротивление вдвое более длинно, чем сопротивление n, то оно также вдвое слабее. Следовательно, т, будучи равно 1, исполняет работу двойную против одного в n, так как его плечо вдвое длиннее, чем плечо n, почему если кто-нибудь поместит в n еще один вес, равный первому, то он будет иметь вдвое больше веса, чем в т, и таким образом весы будут иметь равные силы (р), противоположные вокруг своей точки опоры.

"Во всяком весомом теле имеется разная способность (virtu) к естественному движению и к весу, взятым в одном направлении (?).

"Равные веса, равноотстоящие от центральной линии точки опоры весов, не выведут плечо этих весов из положения равновесия.

"Если к неравным плечам весов подвесить равные веса, то вес, подвешенный на более длинной стороне, будет причиной движения весов.

"Если плечи весов будут находиться в той же пропорции, в какой находятся подвешенные к ним веса, и если на более коротком подвешивается более тяжелый, то эти веса будут одинаково тяжелы по положению (secondo il sito).

"Равенство наклонности определяет одинаковое бытие весов на плечах весов. При неравенстве наклонности плечи, хотя бы они и были разной длины, сопротивляются друг другу в обратной пропорции к длине и наклонности этих плеч.

"Если два веса будут опускаться по двум разным наклонностям и весы и наклонности будут находиться между собой в одной и той же пропорции, то будет найдено, что веса эти имеют при опускании равные скорости.

"Если отношение плеч будет соответствовать отношению данных весов и более тяжелый будет висеть на коротком плече, тогда весы останутся в положении равновесия" (Аr. 76 v.)

Данная запись, как то, впрочем, нелегко заметить при запутанности и замысловатости ее выражений, представляет собой не что иное, как своеобразно переделанное изложение обоснования закона рычага, даваемое первым и отчасти вторым вариантом трактата Иордана Неморария. Действительно, Леонардо рассуждает, примерно, так: как подробно обосновано в учении о весе и естественном движении, то тело легче, которое подпер то, а менее подперто то тело на весах, которое более удалено от точки опоры; следовательно, тело, расположенное дальше от точки опоры, более тяжело "по положению", чем и доказывается закон рычага. То, казалось бы, голословное утверждение, что менее подперто то тело, которое более удалено от точки опоры, опять-таки обосновывается понятием "gravitas secundum situm". Действительно, тело, более удаленное от точки опоры, опускается по более наклонной кривой, а тело, опускающееся по более наклонной кривой, менее подперто и весит больше.

Легко заметить, что кратко приведенное и повторяющееся в ряде других записей обоснование закона рычага Леонардо в смысле строгости и формальной стройности стоит далеко позади своего прототипа — соответствующих доказательств первого и второго вариантов трактата "De ponderibus". Вместо формулировки основного закона естественного движения и понятия "gravitas secundum situm", увеличивающегося вместе с увеличением кривизны, и четкого сведения к этим двум основам всего дальнейшего, мы видим у Леонардо довольно неясную и запутанную аргументацию, в которой доводы от разницы опор весьма нечетко переплетаются с доводами от разницы наклона и которая совершенно не может похвастать логической стройностью доказательства. Но, уступая схоластическому доказательству в смысле строгости, обоснование Леонардо несравненно более конкретно физически, в большей степени отражает реальное обращение с реальным рычагом, чем кабинетные рассуждения трактата "De ponderibus".

В приведенном выше обосновании, в центре рассуждения, как и у Иордана, стоит понятие "веса по положению" — "gravitas secundum situm", которое Леонардо обозначает иногда этим же термином, а иногда термином "peso accidentale" — "приобретаемый вес", несомненно синонимичным первому термину и строящимся Леонардо, очевидно, в параллель к термину "приобретаемое движение", противоположное естественному. Уже разбирая обоснование закона рычага у Иордана, мы отметили искусственность этого понятия, его физическую неопределенность. Естественно, что реально и физически мыслящий Леонардо чувствовал эту абстрактность принимаемого понятия и, не находя возможным полностью отказаться от него, пытался уразуметь, наглядно прощупать его физическую сущность.

Так в поздней записи кодекса "Е" он пишет

"О движении. Вес растет настолько, насколько а (рис. 77) поднимается к с. То же отношение, которое существует между расстоянием тn и расстоянием nb, имеет вес, опустившийся в d, с весом, который это d имело в положении b, а из этого следует, что если тn есть 9/10 nb, то вес, опустившийся в d, есть 9/10 веса, который он имел в месте b" (Е. 72 v.).

Если мы вспомним предисловие к перипатетическому варианту трактата Иордана, то легко обнаружим, что приведенная выше запись есть именно попытка наглядно представить себе просто постулируемую и численно не выражаемую Иорданом зависимость между весом, кривизной и длиной дуги, по которой груз движется. При этом Леонардо, хотя и не вполне четко, сводит эту зависимость к расстоянию груза до вертикали, проходящей через точку опоры, чего отнюдь не делали трактаты "De ponderibus" и что он, как мы увидим ниже, широко применяет при разборе коленчатого рычага.

Такую же попытку разобраться в физическом смысле понятия "приобретаемого веса" или "веса по положению" представляет, по-видимому, и другая запись того же кодекса:

"О двигателе или движимом. Сила двигателя всегда больше, чем сопротивление движимого.

"О рычаге и противорычаге. Настолько прибавляется приобретаемый вес двигателю, помещенному в конце рычага, насколько движимое, помещенное на конце противорычага, превосходит его естественным весом.

"И настолько больше будет движение двигателя, по сравнению с движением движимого, насколько приобретенный вес этого двигателя превосходит его естественный вес.

"Доказывается это так: пусть движение двигателя (рис. 78) будет из b в d и движение движимого из а в с; я утверждаю, что движение bd будет настолько больше движения ас, насколько приобретаемый вес b превосходит вес d; превосходит же он его на один, а, следовательно, также естественный вес..." (Е. 58 v.)

„И в этом, впрочем неоконченном, отрывке Леонардо пытается подойти, но не подходит к более наглядному представлению "gravitas secundum situm". He приближая нас к этой цели, приведенная запись подводит, однако, ко второму способу обоснования закона рычага, применявшемуся Леонардо значительно ранее, чем первый.

Этот способ состоит, как мы уже говорили выше, в сведении закона рычага к перипатетическому закону приобретаемого движения, самая формулировка которого уже может служить формулировкой закона рычага. Так, на листе 202 v. b. "Атлантического кодекса" Леонардо прямо записывает перипатетический закон приобретаемого движения и применяет; его именно к случаю рычага.

"Если какая-нибудь сила движет тело на определенное расстояние в определенное время, то та же сила будет двигать половину этого тела на то же расстояние в половину того же времени или в то же время на два таких же расстояния" (рис. 79).

Однако такое рассмотрение весов обычного типа не вполне удовлетворяет Леонардо, и он продолжает:

"Этот опыт не годится (questa sperienzia non serve), так как в каждую частицу движения эти весы приобретают частицы медленности".

Дальше он разбирает "круговые весы", т. е. систему шкивов равного диаметра, в которых отпадает это возражение, не вполне нам, впрочем, понятное.

Другой пример сведения закона рычага к закону приобретаемого движения дает нам следующую запись:

"Если а=2 двигает b в f (рис. 80), опускаясь в с, то 4, опускаясь в d, будет двигать b=2 дважды расстояние bf, и, следовательно, оно пойдет в g (Ar. 63 v.).

Из приведенных записей более или менее ясно, что Леонардо, склоняясь к обоснованию закона рычага, принятому первым вариантом трактата Иордана, не отказывался, однако, совершенно от обоснования, принятого "Книгой Карастуна" и третьим вариантом трактата Иopдана. Но принимая тот пли иной путь обоснования, он безразлично выпускал геометрическую или алгебраическую сущность самого доказательства и прямо от экспериментальной констатации переходил к общему закону, который эту констатацию объясняет и научно обосновывает. Вся сложная и замысловатая сеть построений, аргументации, приведений к абсурду, ссылок на Евклида и Архимеда, которая составляла святая святых всех сочинений по конкретной механике, начиная с "Механических проблем" и до работ школы "De ponderibus", совершенно исчезает в рассуждениях Леонардо. Она заменяется у него совсем другим — экспериментом рядом с результатами которого хитроумные мудрствования схоластической теории неизбежно казались бледными и ненужными. Сложное математическое обоснование закона, ясно обнаруживаемого опытом, казалось Леонардо излишним. Да к тому же его мало склонный к отвлеченности ум художника и техника плохо справлялся с нелегкой и требующей значительной привычки к отвлеченному мышлению аргументацией трактатов Архимеда или третьего варианта трактата Иордана. Естественно может возникнуть вопрос: что же тогда Леонардо, отбрасывающий как раз математическое доказательство в законе рычага понимал под математикой, без участия которой он, как мы отмечали выше, считал недостоверным всякое знание? Ответ на этот вопрос не сложен и в общей форме дан нами уже выше (см. стр. 431). Под математикой Леонардо в первую очередь понимал возможность числовой проверки того или иного утверждения, математической же формулировкой считал исключительно формулировку, устанавливающую численную зависимость между несколькими величинами, причем зависимость эта в большинстве случаев имела форму простой пропорции, представлявшей для Леонардо, как и для всего Возрождения, наиболее совершенную форму математического соотношения. Метод же доказательства при помощи математики был решительно чужд Леонардо, с чем тесно связаны и сильные и слабые стороны его механики. Конкретная, практически направленная как им одна из предшествующих систем, она зато, так же как ни одна из них, произвольно и необоснованно возводила результаты конкретных наблюдений к общим положениям и законам, остающимся незыблемыми в своих старых формах именно вследствие произвольности этой связи.

Однако не только подробный разбор и экспериментальное подтверждение законов естественного и приобретаемого движения подводили Леонардо, как и его предшественников, к обоснованию закона рычага. К нему подводили, как мы уже мимоходом отмечали (см. стр. 486), и его значительно более оригинальные и свежие рассуждения о центре тяжести тела (естественном центре тяжести) и особенно о центре тяжести системы (приобретаемом центре тяжести). Действительно, рассмотрение поведения тела сферической формы, центр тяжести косого подперт, приводило Леонардо к заключению о том, что такое тело не будет иметь никакого движения: обе его части по сторонам от точки опоры будут иметь равный вес и, следовательно, не будут вызывать никакого движения. Это представление о невозможности движения там, где не приложена сила или нет разности весов, и о необходимости движения там, где то или другое имеет место, опять-таки приводит Леонардо вплотную к закону рычага. Если мы приведем полностью запись против вечного движения, начало которой мы цитировали выше, то сразу же увидим, как рассуждение о возможности и невозможности движения в зависимости от разности весов или сил приводит его к закону рычага. Вот эта полная запись:

"Против вечного движения. Ни одна неодушевленная вещь не будет двигаться сама по себе; если же она двинется, то, будучи движима неравной силой, т. е. в неравное время и при неравном движении или при неравном весе. Когда же стремление (desiderio) первого двигателя прекращается, то немедленно же прекратится и второе.

"О движении. Например, если ты увидишь, что вес b подымает вес а, при том, что плечи весов равны, то необходимо, чтобы b было более тяжелым, чем а. Если бы ты захотел, чтобы вес d подымал вес с более тяжелый, чем он, то необходимо, чтобы он проходил больший путь при своем опускании, чем его проходит с при своем подъеме. Если же он опускается больше, то необходимо, чтобы плечо весов, опускающееся вместе с ним, было длиннее другого. И если бы ты захотел, чтобы малый вес f поднял большой, то необходимо, чтобы f производил более длинное и более быстрое движение по сравнению с весом с" (А. 22 v.).

В этой записи, отражающей еще раннюю стадию механических штудий Леонардо, мы видим смешение доводов, опирающихся на закон приобретаемого движения и на неясное представление о центре тяжести и его роли в системе весомых тел.

Предыдущая страницаСледующая страница