Гуковский М.А. Механика Леонардо да Винчи, 1947

Предыдущая страницаСледующая страница

Часть четвертая. МЕХАНИКА ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ - Глава 3. ВЕС И РЫЧАГ

§ 5. Приложение закона рычага - нить, укрепленная за два конца (продолжение)

В противоположность более раннему утверждению Леонардо, как бы ни был мал угол, образуемый нитью, ветви ее всегда испытывают натяжение больше половины веса; этот избыток будет относиться к подвешенному грузу. Если же допустить, что в текст Леонардо вкралась описка (их число в рукописях Леонардо значительно) и что он имел в виду отношение этой прибавки к весу P/2, а не к весу Р. Подставляя из прямоугольного треугольника, получим oa—оn=оа—on. Это показывает, что утверждение Леонардо верно в этой своей части. Правильность последнего утверждения показывает, что Леонардо, придя через ряд заблуждений и ошибок к решению долго занимавшей его задачи, уже может при помощи его решать задачи более конкретные. В частности, он лает правильное объяснение явлению, отмеченному, как мы помним, уже в ранних записях (см. стр. 655), что никакими сколь угодно большими грузами на концах нити нельзя выпрямить ее, если она прогнута грузом, подвешенным в середине... Лист 6 v., в котором доказывается это утверждение, как бы суммирует все вышесказанное. Он гласит:

"Рычаг и потенциальный противорычаг (измерители веса, поддерживаемого углом нити) никогда не будут вдвое больше один другого, так как, находясь в положении, при котором один вдвое больше другого, они немедленно уничтожаются, и здесь кончается сообщество естественного веса с приобретаемым вместе с наименьшим углом из всех острых.

"Если бы было возможно выпрямить нить, растянутую поперек, и уничтожить последний, наибольший из тупых углов, создаваемых весом, поддерживаемым в середине этой нити, тогда сила (р) этой нити была бы бесконечной при поддержке малого веса и рычаг и противорычаг уничтожились бы, что невозможно, так как при таком положении нити ни одной силы нет без рычага.

"Заключение о весе, подвешенном в углу нити, и как он распределяется на каждую сторону этого угла.

"Невозможно, чтобы когда-либо под действием любой силы (p) нить, растянутая поперек, могла выпрямиться, и это тем более невозможно, если она будет иметь какой-нибудь вес. Подвешенный в середине ее длины (рис. 146).

"Доказательство. Пусть dnb — нить, растянута поперек, и е — вес, привешенный к ней. Здесь по 7-й "о равновесии" я построю потенциальный рычаг, плечами какового будут bа и bc и cd и ае — его полуреальные подвесы. Итак, я говорю, что для выпрямления нити dnb ее угол должен постоянно увеличиться и рычаг bc уменьшаться, а противорычаг bа увеличиваться.

И так как этот рычаг делим до бесконечности, то необходимо было бы бесконечно увеличивать вес, для того чтобы уменьшить рычаг, каковой вес пришлось бы бесконечно увели- чивать, если бы нить и его подвесы не порвались" (Аr. 6 v.).

Окончательно, казалось бы, разобравшись в простом случае подвеса груза, вертикаль из центра тяжести которого делят угол, образуемый нитью, пополам, Леонардо отнюдь не удовлетворяется этим. Он переходит к более сложному случаю, когда вертикаль эта не делит угла пополам, например, когда концы нити укреплены на разных высотах. Весь следующий лист кодекса (7 v.) занят разрешением этой задачи.

Сначала Леонардо подходит к вопросу очень осторожно, расчленяя его на две части, а затем на конкретном примере иллюстрирует получаемое им общее правило.

"Здесь (рис. 147) имеется двое весов и одни из них имеют плечи cf и cb, плечи других — еn и еа (фиг. 1), abc — нить, образующая угол (фиг. 2), е — вес, поддерживаемый этой нитью cd — плечо весов, поддерживающее вес е, cf — противоположное плечо весов, где находится двигатель этого веса т. е. а. "nig — наклонная нить, поддерживающая в углу i (фиr. 3) вес k; gi — плечо весов, поддерживающее вес h, gm - второе плечо весов, где находится сопротивление веса k, т. е. n.

"Обе эти фигуры есть одна и та же, но она рассчитана два раза, чтобы не запутывать глаз и один раз рассчитана с одной стороны и другой раз — с другой" (Аr. 7 v.).

Нетрудно понять, что Леонардо рассматривает каждую сторону отдельно; пользуясь установленным им раньше правилом, он находит, что натяжение ветвей нити так относится к весу груза, как длины перпендикуляров из точки подвеса противоположной ветви на вертикаль относятся к длине перпендикуляров из той же точки на направление данной ветви, т. е. (фиг.1), что совершенно правильно дальше иллюстрируется на следующем примере.

"Здесь (рис. 148) вес n поддержан двумя различными силами, т.е. mf и тb. Теперь мне нужно найти рычаг и потенциальный противорычаг этих двух сил bm и fm, из которых силе b будет дан рычаг fe и противорычаг fa. Рычагу fc будет дан подвес еb, к которому приложен двигатель b, и к противорычагу fa дан подвес an, поддерживающий вес n. Устроив равновесие между силой (p) и сопротивлением двигателя и веса, надлежит посмотреть, каково отношение между рычагом fe и противорычагом fa, каковое fa составляет 21/22 противорычага fe. Следовательно, b чувствует 22, если вес n будет 21. Следует второе расположение рычага и противорычага be и bа, с которым соединен подвес eb, соединяющийся с двигателем f, и подвес an, соединяющийся с весом n. Теперь нужно посмотреть, каково отношение между bс — рычагом и ba — противорычагом. Противорычаг составляет треть рычага. Следовательно, один фунт силы в f сопротивляется трем веса в ba, и 21/22 трех фунтов в n, помещенные в b, сопротивляются 22-м, помещенным в ba.

"Окончено правило расчета неравных плеч нити, расположенных под углом" (Аr. 7 v.).

Последняя фраза создает впечатление, что задача окончательно разрешена, правило расчета плеч найдено и можно переходить к следующим вопросам. Но достаточно перевернуть два листа того же "Кодекса Арундель", и оказывается, что это далеко не так. С одной стороны, предложенное правило было, очевидно, слишком сложным и замысловатым для Леонардо-тех- ника; с другой же, мы не должны забывать, что имеем дело с автором "Тайной вечери" и "Джиоконды", творцом, никогда не довольным своим произведением и всегда стремящимся до- стигнуть еще лучшего.

Действительно, начиная с листа 9 r., Леонардо, уже стоя на твердой почве полученных им результатов, приступает к разработке нового способа подсчета натяжений нити.

"Здесь доказывается, почему в таком отношении находятся части веса, подвешенного в углу между двумя сторонами треугольника, которые чувствуют 2 эти стороны, в каком находится одна из этих сторон со своей высотой (рис. 149). Причина того, почему стороны воздействуют так, что их высоты испытывают влияние веса, привешенного к углу таким образом, что линия fc равна этой стороне по определению окружности. И так же можно было сказать, что таково отношение между частью be и всем ас, каково оно между весом, укрепленным в углу, в котором сходятся эти стороны...

"Но в верхнем соединении двух сторон в точке f приобретаемый вес кончается и остается только естественный вес, и когда концы этих сторон начинают разделяться и двигаться круговым движением, тогда они начинают опускаться и тогда рождается приобретаемый вес, называемый силой, каковая хотя и не весит, но исполняет роль веса и приобретает тем большую величину, насколько концы сторон опускаются и мера опускания находится на перпендикулярной линии fc, и потому эта воображаемая линия изменяется при помощи пересечения с прямой, простирающейся от одного конца высоты до другого конца другой высоты. И в то же время с этой линией кончается треугольник, который своим основанием режет линию fc, и то, что внутри его остается от этой линии, называется высотой этого треугольника и является мерой того, насколько опущены края обеих сторон. И поэтому ею измеряется вес, лежащий на названных сторонах, каковой находится в таком же соотношении с естественным весом с, в каком находится эта высота сb со всей высотой fc, или, можно сказать, с одной из сторон, что то же самое" (Аr. 9 r.).

Несомненно, что в конце данной записи Леонардо пропустил (как он делает нередко) упоминание о том, что высота cb со стороной nc обратно, а не прямо пропорциональны отношению нагрузки на нити к естественному весу, как он говорит в начале записи. Под натяжением же нити Леонардо понимает в данном случае "вес, лежащий на названных сторонах", т. е. натяжение двух нитей, вместе взятых. В соответствии с этим даваемая им формула будет совершенно правильной.

Что данное нами толкование приведенной записи точно передает результат Леонардо, доказывают следующие две страницы кодекса, вполне ясные и не требующие особых комментариев:

"Приобретаемый вес создается естественным весом.

"Настолько возрастает приобретаемый вес в сторонах подвешенной под углом нити, насколько уменьшается высота данного угла, в котором подвешен вес.

"Пусть подвешенная под углом нить (рис. 150) будет ctd и высота ее угла будет rt, которая кончается в угле, в котором подвешен вес о.

"Вес о, бывший 2 для нитей, бивших равными своей высоте at и bt. При уменьшении этой высоты или перпендикуляра на половину длины, когда концы нитей опустились в с и d, высота находится в rt — половине at, тогда вес 2, бывший в ab, делается 4 в cd и так далее, деля эту высоту последовательно пополам каковое деление дает бесконечное уменьшение высоты, и, следовательно, оно должно было бы вызывать бесконечное умножение веса для сторон этой высоты" (Аr. 9 v.).

На следующей странице рассматривается более общий и сложный случай, когда высота не делится пополам:

"Груз, подвешенный в середине горизонтальной нити, образующей над собой угол. Пусть будет проведена прямая линия, своими концами упирающаяся в точку укрепления этой нити; итак, ты образуешь треугольник, высота которого будет находиться в таком отношении со своей стороной, в какой находится средний вес с весом, который чувствует точка укрепления этой нити.

"Так как высота fD (рис. 151) треугольника bcD равна 7/8 своей стороны, то часть веса 1, поддерживаемого нитями, которую чувствуют две нити, будет 9/8 и 1/7 этой восьмой Имеется в виду 8/7, что правильно, и следующая высота равна 6/8 своей стороны, т. е. ?, величина d, связанная с нитью, будет равна ? части веса, которую чувствуют обе нити. И 3-я высота равна 5/8 своей стороны, и опять вес стороны будет 8/5 веса высоты. И 4-я высота равна половине своей стороны, и вес стороны будет наполовину больше, чем вес высоты. И так постепенно можно до бесконечности делить эту высоту, и также бесконечным сделался бы вес, который бы прибавлялся к нитям, поддерживающим эту величину, если бы только они не порвались" (Аr. 10 r.).

В обеих вышеприведенных записях мы видим неоспоримые .доказательства того, что Леонардо вполне овладел новым, упрощенным способом определения натяжения нити при равных углах с вертикалью. Следующая страница показывает, как от первого, более сложного способа, выведенного экспериментальным путем, он подошел ко второму, упрощенному способу. По-видимому, он просто произвел ряд подсчетов по первому способу и затем подогнал формулу, дающую второй способ:

"Здесь (рис. 152) доказывается, что отношение между высотой и ее стороной то же, каково оно между высотой высоты и весом, который эта высота передает своим двум сторонам.

"То, что выше сказано, доказывается следующим образом. Так как от линии bс отрезается 1/4 в bh, в he от нее остается ?. Из этого следует, что эти ? находятся в таком отношении со своим целым bс, в какой высота находится со своей стороной. Итак, сторона подобна всему перпендикуляру bс. Но то, что до сего сказано, еще не является доказательством. Доказывается же это при помощи весов fh и fe. Из этого следует, что 3 в h сопротивляется 2 в е и, следовательно, весы находятся в том we отношении, в каком были между собой плечи весов, т. е. 2/3. Теперь, так как bт равно 4, а мы в этом втором примере приняли его равным 3 против 2 подвеса ci, то теперь в т мы имеем 3, а в i — 2, и это 2 есть 2/3, что соответствует пропорции плеч этих весов. Итак, в i имеем 2/3 веса т, равного 3. В этом примере применен вес, относящийся только к одной стороне, т. е. 2 и столько же нагружается на противоположную сторону, что дает 4; итак, мы сделали, что вес т, равный 3, есть ? веса который чувствует обе стороны, и это сравнивается с первым, где высота была 3/4 одной из двух сторон.

"Полуокружность fhc строится на стороне fc только для того, чтобы найти внутри угол fec, который получается из соединения под прямым углом рычага fe и его подвеса еb (Аr. 10 v.).

Но, не удовлетворившись и этим сведением второго способа к первому, Леонардо на следующей странице дает еще один вариант такого сведения:

"Здесь (рис. 153) высота be есть 7 и сторона се есть 8. Следовательно, вес высоты, равный 7-ми, чувствуется как 8 своими двумя сторонами, из которых 4 приходится на каждую сторону. Следует второе доказательство.

tab — противорычаг есть 4/7 an - рычага. Следовательно, 4 сопротивления в n противодействует 7 опускания в b. И вот второе доказательство подтверждает верность первого, т. е. каждое из доказательств показывает, что сторона ее чувствует 4 в с из 7 поддерживаемых углом соединения обеих сторон ae и се.

´"В этом расположении нитей 7 (единиц) веса, помещенные в е, рождают единицу приобретаемого веса в двух сторонах" (Аr. 11 r.).

И эта запись, как предыдущая, показывает, что более простой способ дает численно такой же результат, как способ более сложный. Следовательно, если на нескольких примерах доказана идентичность результатов, получаемых обоими способами (а правильность результатов первого, более сложного опыта доказана), то, значит, и более простой способ будет давать всегда правильные результаты.

Добившись полного усвоения способа определения натяжения нити с грузом, образующей равные углы с вертикалью, Леонардо не останавливается и на этом, а пытается применить тот же способ и для значительно более сложного случая неравных углов.

"Здесь (рис. 154) по пятой 7-го вес, приходящийся на нить аb, уменьшается на половину своего веса, как доказывает линия hb на расстоянии ai. Из этого следует, что вес 6 превращается в 3 в b, и так как рычаг af есть 3/5 своего противорычага, из этого следует обратная пропорция, т. е. что вес b, привешенный к противорычагу nа, превращается в 3 и вес рычага делается в 5 в f. Следовательно, 6 главного веса d чувствуется нитью cb как 5.

"Тяжесть 6 в d, которая по положению b превратилась в 3, чувствуется нитью be как 2 и 1/4, так как наклонность ее занимает расстояние mb, которое равно 3/4 cb. Теперь, так как рычаг cg есть3/7 cs своего противорычага, вес s будет 3/7 веса, который чувствует g. Так как вес b из 3 превратился в 2 и 1/4 по отношению к нити cb, мы скажем, что 2 и 1/4 увеличивается по отношению к нити ab и в ней появляется сила (р), которая сопротивляется весу, от которого эти 2 и ? составляют 3/7, т. е. весу в 5 и ?. И вот вес 6, привешенный в b, превращается в своих двух опорах в 10 и ? Издатели Cod. Ar. почему-то 
считают, что здесь имеет место ошибка и поставлено 10 1/2 вместо правильных 10 1/2 , однако 5 + 
5, дает 10 ?, так что никакой ошибки здесь, по-видимому, нет. И, если бы эти опоры ab и ас имели свои концы с и а (в оригинале ошибочно d) на равной высоте, то 6 в d превратилось бы в 36, так как высота eb помещается 6 раз в своей стороне ab" (Аr. 12 r.).

Все это довольно сложное рассуждение показывает, что Леонардо запутался в своих доводах и, применяя совершенно правильные отдельные положения и приемы, пришел к совершенно неправильному результату. Ошибка его заключается в том, что за несколько страниц до этого он, рассматривая во вспомогательном построении нить с концами, укрепленными на разных высотах, конечный вывод делает для нити с концами,. укрепленными на одной высоте. В данном же случае, встречаясь с нитью, концы которой укреплены на разных высотах, он применяет не тот способ расчета, как для нити с концами на равной высоте, а значительно более усложненный. Он считает, что натяжение ветви нити равно не всему грузу, помноженному на отношение перпендикуляра, опущенного из конца противоположной ветви на вертикаль, к перпендикуляру на продолжение данной нити, а части этого груза, причем эти части он определяет следующим образом. Правую часть он получает из отношения, т. е. из предположения, что часть груза, нагружающая конец ветви, так относится ко всему грузу, как длина перпендикуляра, опущенного из точки укрепления этой ветви на вертикаль, относится к длине этой ветви. Левую же часть он получает, полагая, что естественная часть груза при опускании конца нити будет испытывать изменение "по положению". Таким образом, Леонардо дважды учитывает углы, образуемые нитью с вертикалью. Из приведенного несомненно, что, желая подойти к более простому способу вычисления того случая, который он выше разбирал сложным способом совершенно правильно, Леонардо запутывается и попадает на путь не только еще более сложный, но и дающий неправильный результат Совершенно непонятно, как Марколонго в неоднократно цитированной нами работе, приводя 
разобранное выше место, характеризует его как .

После листа 12, содержащего вышеразобранную запись, цельный кусок "Кодекса Арундель" обрывается и начинается обычная в леопардовых кодексах смесь. В ней к концу кодекса опять имеется несколько весьма интересных записей, относящихся к нашей теме. Однако, до их рассмотрения, мы должны упомянуть еще о ряде более или менее поздних записей других кодексов, которые повторяют, иногда несколько дополняя их, высказывания отдельных частей "Кодекса Арундель". Особенно много таких записей мы находим в кодексе "Е" — одном из позднейших в наследии Леонардо. Замечательно здесь то, что наряду с разными вариантами правильных решений, казалось бы, твердо усвоенных, изредка встречаются и попытки вернуться к уже ранее отброшенным неправильным решениям. Очевидно, полной уверенности в том, что найденные методы являются единственно правильными, у Леонардо не было.

Из записей кодекса "Е" мы приведем только одну, показывающую, что Леонардо, как он это обычно делал, добившись более или менее совершенного разрешения того или иного вопроса возвращается к той его постановке, с которой он начал свою работу. Мы видели, что в части наиболее ранних записей он пытался разрешить вопрос о провесе ненагруженной нити. К этому же вопросу он возвращается в конце кодекса "Е" применяя способ, найденный для определения натяжения нагруженной нити.

"Доказатальство веса, который имеет изогнутая нить.

"Нить, искривленная при том, что концы ее укреплены на одной горизонтали, всегда описывает часть окружности, и центр ее тяжести будет всегда находиться в середине ее вещества (quantita).

"Линия потенциального (рычага?), которую имеет вес всей изогнутой нити, пряма и имеет начало в начале дуги в месте, в котором окружность отделяется от прямой линии, касательной к ней, а для того чтобы найти это начало, обратись к нижней фигуре (рис. 155) и заметь дугу нити abc, которая является частью окружности круга. По седьмой этой найди центр всей окружности, каковой и будет h, и из этого центра проведи прямую ha и будешь иметь полудиаметр этого круга, в конце которого проведешь перпендикуляр an´, таким же образом ты поступишь с противоположным концом названной нити в линии се и к ней построишь перпендикуляр еа, который и будет реальным рычагом по отношению к реальному противорычагу, к каковому присоединен подвес веса dl.

"Все те (части) фигуры, которые имеют двойные линии, должны пониматься как реальные члены, а те, которые имеют только простые линии, понимаются как потенциальные линии, и среди многих фигур есть (части) простые потенциальные, и простые реальные, и составные из реальных и потенциальных" (Е. 62 r.)

В приведенной записи Леонардо уже не старается выяснить форму провеса нити, как он это делал вначале, а занимается проблемой натяжения ветвей нити под действием ее собственного веса, вытекающей из всех его работ позднего периода. При этом он принимает, что весь вес нити сосредоточен в середине ее провеса и что ветви ее, примерно, прямолинейны и сходятся к точке, в которой помещен этот вес. Это и сводит данную задачу к задаче натяжения ветвей нити с подвешенным грузом, а она, как мы видели выше, легко разрешается Леонардо. Однако предположения Леонардо, что нить провисает по дуге окружности, что ветви нити могут быть приняты прямолинейными и что натяжение вследствие этого равно на всем протяжении данной ветви, неправильны. Фактически нить провисает по цепной линии, и натяжение каждой ее ветви изменяется обратно пропорционально глубине провеса. Это обстоятельство делает неправильной формулу Леонардо, которая может быть расшифрована, где s — натяжение ветви, I — пролет (ее) и а — угол hca. Но, тем не менее, формула эта весьма замечательна, ибо она представляет первую попытку действительно научного разбора столь сложного вопроса, как провес нити под действием собственного веса.

Если последняя из рассмотренных записей показывает, что Леонардо, углубляясь в сравнительно абстрактные вопросы отнюдь не забывает тех исходных положений, которые побудили его этими вопросами заниматься, то несколько страниц "Кодекса Арундель" демонстрируют то же самое с еще большей убедительностью. Действительно, мы нашли, что поводом, давшим толчок леопардовым занятиям над прогибом нити и натяжением ее концов, послужили работы его над конструированием сводов и арок. Именно с этих работ, связанных со строительными занятиями молодого инженера, начались механические штудии его — попытки определить (как он писал жюри конкурса на тамбур Миланского собора):

"Какова природа тяжести и каково стремление тяжести и, каким образом, тяжести должны быть сплетены, связаны вместе и соединены и какие действия рождают".

Легко могло случиться, что, поставив перед собой столь сложную задачу и погрузившись во все более абстрактные способы ее разрешения, Леонардо оторвался бы от той практической исходной цели, которая поставила перед ним эту задачу. Чтение ряда записей, приведенных нами выше, как будто подтверждает справедливость этого предположения. Однако записи конца "Кодекса Арундель" совершенно опровергают его. Леонардо был слишком техником. Даже погружаясь в наиболее отвлеченные рассуждения, он никогда не забывал о начальном импульсе своих теоретических исследований и, достигнув известной теоретической высоты, немедленно возвращался к технической проблеме. На листе 116 "Кодекса Арундель" мы находим следующую замечательную запись:

"Соединение рычага со своим противорычагом всегда бывает прямоугольным.

"При подсчетах сил в машинах (potenzie machinali) принимаются во внимание вес и положение не их материальных членов (membrificazioni material!), а только их потенциальных, т е. математических линий.

"Я хочу знать, какую свою часть отдает весомое тело своим опорам, т. е. mg и nb (рис. 156). Я построю два потенциальных рычага bс и gr, которые будут находиться в прямоугольном, соединении с bn и mg в точках b и g. Затем проведу прямую bg из b в g и в середине ее опущу перпендикуляр fn из-под центра весомого тела а и, таким образом, получу прямой угол bfn в точке f. Кроме этого, проведу подвес cd, под прямым углом соединяющийся с рычагом be, и так получу рычаг be с подвесом cd против потенциального противорычага bf с его подвесом fn. Если же противник утверждал бы, что этот противорычаг не потенциален, но реален, т. е. противорычаг bn, то ему можно ответить при помощи 10-й этой работы, где говорится, что все подвесы, направленные к центру мира, соединяются под прямым углом и плечами весов, находящихся в положении равновесия, и по вышеприведенному первому положению, что всякое соединение между подвесом и плечом рычага прямоугольно, что не может быть осуществлено, если по утверждению противника n будет соединено с подвесом fn. А, следовательно, прямой угол bfn соответствует нашему требованию и т. д.

"Здесь подсчитываются математические силы (р), а не реальные веса, т. е. веса членов механизмов (membre de li strumenti).

"Подсчет. В той же пропорции, в которой находится •потенциальный рычаг be с реальным противорычагом bf, будет находиться и сила угла с сопротивлением угла. Следовательно, так как силы обратны, то be, будучи вдвое меньше bn, будет иметь двойную силу для поддержания bn.

"Сила (р), изображенная здесь (рис. 157), похожа на изображенную выше, но первая учитывает вес, который поддерживает нить abc благодаря весомому телу s, т. е. естественный вес, называемый тяжестью, и приобретаемый вес, называемый силой, и научает отделять тяжесть от силы. И эта операция производится для нитей abc под горизонтальной линией ode. Но выше принимаются во внимание вес и сила, которые отдает весомое тело а или же nт над горизонтальной линией bfg, соединяющей обе балки bn и mg, поддерживающие эти весомые тела т и n.

"Рычаг и потенциальный подвес ае и eb всегда будут иметь прямоугольное соединение в точке е (и потенциальный подвес) всегда будет иметь одно направление с реальным подвесом bc, т. е. если продолжать реальную нить bc прямо, то она встретит потенциальный рычаг ае в точке е под прямым углом, а потенциальный противорычаг рычага ае будет находиться на линяя ad, кончающейся (полу)реальным подвесом db над реальный подвесом bs.

"Подсчет. В той же пропорции, в которой находится рычаг ае с противорычагом ad, находится сила с весом, но она обратна, так как противорычаг вдвое больше рычага. Следовательно, подсчет половины веса будет найден при подсчете потенциального рычага и противорычага ае и ad; подвесы ec и dc полуреальны, как это видно здесь" (Аr. 116 v.).

Из этой записи, весьма пространной и более чем ясной, после всего, что нами разобрано выше, можно заключить, что Леонардо рассматривает давление свода на опоры. Он поступает при этом точно так же, как при разборе натяжения концов нити, провисающей под действием собственного веса: он рассматривает вес всего свода сосредоточенным в наивысшей его точке — замке, который и изображен на чертеже; обе, же опоры он считает прямолинейными и невесомыми. Сделав такие, неправильные по существу предположения, он вполне закономерно заключает, что свод есть, собственно говоря, не что иное, как перевернутый канат, провисающий под действием подвешенного в середине его веса, и применяет найденный им вполне правильный способ определения нагрузки на концы нити, что в данном случае дает нагрузки на опоры свода. При этом, для наглядности, он, переворачивая привычный чертеж прогнутой нити, строит свои потенциальные рычаги и подвесы не на продолжениях ветвей, т. е. над ними, а на параллельных им линиях под ними, что дает, конечно, тот же результат. Таким образом, и для определения нагрузки на опоры свода арки Леонардо применяет формулу, где Q — общий вес арки. Формула эта неправильна для полной нагрузки, но дает практически приемлемый результат, так как вертикальная составляющая давления, практически интересующая Леонардо, где Р — вес на единицу длины, а I — пролет. Пролет I несколько меньше длины арки, почему Рl будет меньше Q; но так как cos ?<1, то полученная Леонардо величина Давления на опору будет практически приемлемой, ибо она превышает, и притом не очень значительно, действительное давление. Опоры, которые Леонардо, может быть, строил по своей формуле, должны были надежно поддерживать возведенные на них арки и своды То же рассуждение, что на листе 116 v., Леонардо повторяет с некоторыми вариантами, не 
вносящими, впрочем, ничего существенно нового, на листе 118 r. и с.

Подробно рассмотренная история работы Леонардо над проблемой натяжения нити, подвешенной на двух опорах может быть еще полнее и нагляднее рисует его творческий путь и применяющиеся им методы, чем ранее рассмотренная проблема равновесия на наклонной плоскости. Мы видим здесь, как Леонардо ставит проблему под давлением правильно и исключительно глубоко почувствованного им запроса техники и разрешает ее сначала простейшими, имеющимися в его распоряжении средствами, сводя ее к прямолинейному рычагу. Убедившись, однако, в незаконности такого сведения, он начинает тщательно экспериментировать и, на основании отдельных экспериментов или групп экспериментов, составляет пропорцию, более или менее точно связывающую между собой результаты этих экспериментов. Так, он высказывает предположение, что нагрузки ветвей нити пропорциональны их длинам или же расстояниям их концов до вертикали. Но, составив пропорцию, охватывающую более или менее удовлетворительно результаты данной группы экспериментов, Леонардо затем проверяет ее на ряде других экспериментов и обнаруживает, что она неправильна, что здесь необходим более тонкий подход. В поисках такого подхода он пробует ввести в пропорцию количество нити, сходящей со шкива, но и эта попытка оказывается неудачной. Тогда он от экспериментирования на нити, подвешенной за оба конца на шкивах, оси которых находятся на равной высоте, переходит к экспериментированию с нитью, один конец которой укреплен на неподвижном шкиве, а другой — на подвижном, причем между ветвями нити угол всегда остается прямым. Результат оказывается правильным, выдерживающим проверку любого числа экспериментов. Это и наводит, очевидно, Леонардо на мысль о том, что решающее значение в данной проблеме имеет угол, образуемый ветвями нити. Дальнейшее экспериментирование показывает, что с увеличением этого угла увеличивается натяжение ветвей нити; это, однако, еще не решает вопроса о натяжении каждой ветви, правильный путь к определению которого находится только тогда, когда Леонардо вводит принятые им при разборе равновесия коленчатого рычага понятия потенциальных плеч. Первое решение, даваемое им на этой основе, опять оказывается неправильным: отношение длин ветвей к длинам перпендикуляров на продолжение противоположных ветвей не определяет распределения натяжений. Но после нескольких наблюдений находится, наконец, правильное и вполне общее решение: натяжение каждой ветви равно весу подвешенного к нити груза, помноженному на частное от деления расстояния точки подвеса противоположной нити до вертикали на длину перпендикуляра из той же точки подвеса на продолжение данной нити. Решение это оказывается правильным при всех вариантах и экспериментах, но оно кажется Лео- нардо, и не без основания, слишком сложным. Поэтому он, оперируя с уже вполне надежными данными, полученными из него, формулирует более простую зависимость: сумма натяжения обеих нитей равна весу груза, умноженному на частное от деления длины нити на глубину прогиба.

Но, добившись, в результате многолетних усилий, правильного решения когда-то поставленной им задачи, Леонардо не забывает об исходной точке своих поисков. Он сразу обращается к технической проблеме, которая поставила перед ним эту задачу. Он пытается применить свое решение к определению Нагрузки на опоры свода и получает результат, хотя теоретически и неправильный, но практически применимый.

На этом примере мы видим, что метод научной работы, который прокламировал Леонардо, в точности применялся им на практике. Он ставит задачу, выдвигаемую техникой, подходит к разрешению ее через ряд экспериментов, на результатах их строит закон, проверяет его опять на эксперименте, находит ошибки, строит новый закон и, найдя его правильным, применяет его на технических объектах. Научное творчество Леонардо вырастает из запросов техники, оно органически связано с экспериментом. В этом его основное отличие от его предшественников, в атом его сила и прогрессивная ценность.

Предыдущая страницаСледующая страница