Таким образом, в результате своих экспериментов, под которые он в данном случае даже и не пытается подвести какую бы то ни было теоретическую базу, Леонардо приходит к следующей формуле: сопротивление х, где h — сторона сечения балки, а I — длина ее. Формула эта неправильна, так как правильная формула дает х. Но в то же время, так же как и формула сопротивления вертикальных опор, она замечательна и как первая в своем роде, и как правильно в общем схватывающая основной характер зависимости, точно вывести которую не позволяла Леонардо его недостаточная экспериментальная техника.

С приведенной выше записью, насколько нас известно, единственной в своем роде в научном наследии Леонардо, тесно связана другая запись того же "Атлантического кодекса" — по вопросу о прогибе балки, лежащей на двух опорах и нагруженной в середине определенным грузом. Возможно, что именно от определения прогибов Леонардо думал перейти к более точному определению сопротивления балок, лежащих на двух опорах. Определение прогиба Леонардо, конечно, производит на эксперименте, который он описывает следующим образом:

"Опыты с железными нитями и пластинками (sperienze con fili di ferro e maglietti). Если ab (рис. 185) под влиянием веса 8 сгибается на 1/8 своей длины, то cd, если она будет, как я полагаю, двойной силы (fortezza) по сравнению с ab, не будет сгибаться на 1/8 своей длины под влиянием веса меньшего 16, ибо она имеет длину вдвое меньше, чем ab, и также ef не будет опускаться на 1/8 своей длины под влиянием веса в 32.

"Здесь следует принять во внимание то, что балка cd, обладая силой вдвое большей, чем ab, под влиянием двойного веса, примененного в ab, не будет огибать свою длину на 1/8, как я сказал выше, но будет сгибать ее точно на 1/16 (С. А. 332 r. b.).

Приведенная запись, подобно ряду других, которые мы рассматривали выше, делится на две части. В первой заключается экспериментальная формулировка, полученная, очевидно, в результате небольшого количества наблюдений. Формулировка эта гласит: стрела прогиба при данной толщине балки прямо пропорциональна произведению веса груза на расстояние между опорами (или длину балки), т. e. при уменьшении расстояния между опорами вдвое и при увеличении груза тоже вдвое стрела прогиба остается неизменной.

Однако повторные наблюдения показывают Леонардо неправильность его утверждения, и он во второй части записи исправляет его. Он констатирует, что при уменьшении расстояния между опорами вдвое и при увеличении груза тоже вдвое стрела прогиба не остается неизменной, как он предполагал ранее, а уменьшается вдвое, так как уменьшение длины действует не только само по себе, но и тем, что делает балку более сильной. Таким образом, согласно этому утверждению, прогиб пропорционален произведению груза на квадрат расстояния между точками опоры. Если мы проверим последнее утверждение Леонардо на современной формуле х, где Р — нагрузка, l — длина балки, а — ширина и h — высота ее, то легко убедимся в том, что последнее утверждение Леонардо ближе к истине, чем первое.

Действительно, при увеличении вдвое Р и при таком же уменьшении /, х не остается неизменным, а уменьшается, но не вдвое, как полагал Леонардо, а вчетверо. Таким образом, вопреки утверждению всех исследователей (Шустера, Марколонго и Харта), и во второй своей формулировке Леонардо не установил правильного соотношения, но он подошел очень близко к нему. Поскольку методика его опыта мало отличается от современной методики в этом вопросе и поскольку все величины, которыми ему приходилось здесь оперировать, поддавались вполне точному измерению, он, несомненно, продолжая работать в этом направлении, достиг бы и правильных результатов.

Мы располагаем лишь очень скудными сведениями о продолжении работы Леонардо над этим вопросом, но такие работы существовали, что подтверждает следующая запись, очевидно также отражающая непосредственные результаты эксперимента:

"Я нашел, что стержень в 12 локтей (рис. 186), если к нему подвесить в середине 1 фунт веса, будет иметь кривизну (incurvatura) в 1 локоть, и я хочу знать, какой вес будет требовать стержень в 6 локтей такой же толщины, для того чтобы создать тот же локоть дуги.

"Стержень в 6 локтей вдвое крепче (forte) в середине, чем 4 стержня в 12 локтей такой же толщины, связанные вместе.

"Если бы все эти веса были подвешены вместе к этому стержню, какую кривизну получил бы этот стержень?

"И какие надо взять веса, чтобы при подвешивании в каждом из этих мест одновременно этот стержень сохранил ту же кривизну? (рис. 187).

"Согни его на 1/8 часть его длины. В стержне аbс (рис. 188), до тех пор, пока своей кривизной он не достигнет шестой части окружности, степени опускания к данной кривизне, производимые равными весами, будут также равны между собой.

"Я хочу подвесить вес в середине горизонтального стержня и хочу поддержать в нем ту же кривизну и изменить этот вес в 5 разных местах стержня, постоянно приближая его к одному из концов, и хочу постоянно удваивать подвешенный вес и найти точно положение каждого веса, поддерживая стержень в первоначальной кривизне.

"Я хочу только увидеть вес, при помощи которого ты, подвешивая его в середине горизонтального стержня, даешь ему определенную кривизну; тронь затем стержень, где тебе хочется, и я тебе скажу, какой вес нужно подвесить в этой части, для того чтобы придать такую же кривизну этому стержню" (С. А. 211 b.)

В первой части приведенной записи Леонардо разрешает тот же вопрос, который он разрешал в записи, разобранной нами выше. На этот раз как в цифрах, проставленных на рисунке, иллюстрирующем текст, так и в самом тексте он приходит к такому вполне правильному выводу: изгиб пропорционален произведению веса на куб, а не (как он раньше предполагал) на квадрат расстояния между опорами. Действительно, на рисунке он изображает балки одного сечения, но разной длины, прогнутые разными грузами до одной и той же глубины, и помечает нужные для этого грузы. При этом он вполне правильно констатирует, что при уменьшении длины в 2 раза груз должен быть увеличен в 8 раз; при уменьшении длины в 4 раза — груз должен быть увеличен в 64 раза и т. д., и совершенно то же самое утверждает в словах, что при уменьшении длины в 2 раза крепость стержня будет в 2 раза больше 4 стержней первого сечения, т. е. в целом в 8 раз. Таким образом, как мы и предполагали, правильно поставленные эксперименты, к тому же находившиеся в пределах возможностей Леонардо и его времени, довольно скоро привели его в вопросе о прогибе балки, лежащей на двух опорах, к вполне правильному результату. Этот результат он, правда, не обобщает в виде формулы, применимой во всех случаях, но он уже умеет применять его в отдельных частных случаях. Как обычно, полученный результат не удовлетворяет ненасытного исследователя. Во второй части приведенной записи Леонардо ставит перед собой и дальнейшую задачу — определить, как изменяется прогиб при передвижении одного и того же веса от середины стержня к одному из его концов или, наоборот, какой вес нужно приложить в разных местах стержня, чтобы получить тот же изгиб, который получается при укреплении данного груза в середине стержня. Ответов на эти вопросы, достаточно сложные и для современной науки о сопротивлении материалов, Леонардо не дает. Только в один из рисунков он вписывает, очевидно, полученные им из эксперимента, величины грузов, укрепленных в разных местах и дающих определенный изгиб, но самая постановка вопроса и без ответа представляет большой интерес. Мысль Леонардо идет в точности тем же путем, каким идет мысль современного специалиста по сопротивлению материалов. Разрешив более простой частный случай изгиба под действием груза привешенного в середине, Леонардо переходит к более общему случаю изгиба под действием произвольно расположенного груза. При этом он обнаруживает исключительно ясное представление о физической сущности изучаемого им явления и о путях экспериментального его исследования.

Столь же глубокое проникновение обнаруживает и то обстоятельство, что Леонардо рассматривает изгиб балки, укрепленной одним своим концом, в связи с изгибом балки, лежащей на двух опорах, как это делается и в современных курсах сопротивления материалов. Так, в середине последней из приведенных нами записей (в месте, обозначенном нами многоточием) он пишет:

"В стержне (рис. 189), который будет закреплен одним из своих концов, а противоположным концом будет описывать или производить при своем опускании двенадцатую (dodecima) часть окружности, все степени (gradi) опускания будут равны, если они будут производиться равными весами" (С. А. 211 r. b.). В этом беглом, схематичном замечании Леонардо, очевидно, хочет сказать, что глубина прогиба балки, один конец которой укреплен, так же как и стрела прогиба балки, на двух основаниях, пропорциональна привешенному грузу, что правильно.

К вопросу о прогибе балки, укрепленной одним концом, Леонардо, насколько нам известно, больше нигде не возвращается. Зато в двух записях он трактует вопрос о сопротивлении на изгиб такой балки. Обе эти записи относятся к числу ранних. Первую из них находим еще в кодексе "А". Она гласит:

"Если стержень в 2 локтя (рис. 190) выдерживает 10 фунтов, то 1 локоть стержня той же толщины будет выдерживать 20, ибо сколько раз короткий стержень помещается в длинном, во столько раз больше он выдерживает веса, чем длинный.

"Если стержень выступает из стены на 100 толщин и выдерживает 10 фунтов, то, сколько будет выдерживать 100 подобных стержней, выступающих также и связанных и соединенных вместе? Я утверждаю, что если 100 толщин выдерживают 10 фунтов, то 5 толщин будут выдерживать в 10 (не в 20 ли?) раз больше, чем 100, и если аb имеет 5 толщин и соединяет 100 таких стержней, то оно выдерживает 20 тысяч" (А. 49 r.).

В данной записи, как обычно, Леонардо высказывает сначала некоторое, наиболее схематичное, априорное суждение, затем проверяет его на опыте, зафиксированном на рисунке, и, убедившись в ошибочности первого суждения, переходит к другому, обобщающему результаты опыта. При этом он делает неправильное предположение, что если в первом стержне отношение длины к стороне сечения (очевидно, квадратного) будет равно 100, то при соединении 100 таких стержней отношение это будет равно 5, в то время как оно будет равно либо 10, если новая балка будет сохранять квадратное сечение, либо 1, если балки будут накладываться одна на другую. Затем (мы предполагаем, что наша замена 10 на 20 правильна) Леонардо утверждает, что если отношение длины к стороне сечения уменьшилось в 10 раз, то сопротивление увеличилось во столько же раз, т. е. стало равным 200, а так как и стержней вместо одного стало 100, то сопротивление увеличилось еще в 100 раз, т. е. всего стало равным 20 000. Рассуждение это, как нетрудно заметить, очень мало убедительно (так как непонятно, чем обосновано умножение на 100) и весьма близко к рассуждению, обосновывающему сопротивление вертикальной опоры. Легко также увидеть, что и окончательная формула, которая может быть выведена из приведенного рассуждения, строится, примерно, так же, как строилась наиболее часто применяемая Леонардо формула сопротивления вертикальной опоры. Ибо Леонардо получает конечную величину сопротивления по той же формуле. Это в общем правильно, поскольку сопротивление изгибу балки, укрепленной одним концом, так же как сопротивление изгибу балки, лежащей на двух опорах, пропорционально кубу высоты сечения и обратно пропорционально длине ее.

Придя к этому правильному результату, как и в ряде других случаев, чисто эмпирически, Леонардо опять-таки, очевидно, не считает полученное им решение окончательным и применимым во всех аналогичных случаях. Так, в примерно одновременной или, может быть, несколько более поздней записи "Атлантического кодекса" он пишет:

"Правило поперечных опор, неподвижных в месте своего укрепления.

"Но половина опоры аb, т. е. nb, будет в n выдерживать столько же, как с конец опоры cd, так как, если диаметр толщины одной содержится 20 раз в толщине (не длине ли?) ее, то другая имеет такую же пропорцию и поэтому они представят одинаковые сопротивления для одинакового веса" (С. А. 86 v. b.).

Несмотря на некоторую противоречивость в двух абзацах этой записи, общий смысл ее более или менее очевидно сводится к тому, что сопротивление обратно пропорционально отно- шению длины балки к высоте ее сечения, так как при равных отношениях и сопротивления оказываются равными.

Как мы уже говорили, сопротивление на изгиб балок, укрепленных одним концом, Леонардо рассматривает в сравнительно немногих записях. Однако приведенными вопросами не исчерпываются все темы, которые рассматривает Леонардо в отделе сопротивления материалов своей механики. Он бегло ставит, а иногда и разрабатывает, еще ряд проблем, рассмотрение которых находится вне пределов возможностей даже столь подробного исследования, как наше. Мы приведем для образца и без особого анализа, поскольку имеем здесь дело не с установившейся системой взглядов и положений, а с отдельными замечаниями, две записи по вопросу изгиба и разрыва вертикальной опоры.

"Середина высоты опор испытывает больший напор (е piu combatuta) и более побеждается силой (f) излишнего веса, помещенного на них, чем любая другая часть (рис. 192).

"Это может быть найдено на опыте, ибо если ты возьмешь 3 куска дерева равных пропорций и посадишь их в виде треугольника (in forma triangolare), т. е. широко (расставив) снизу и сблизив сверху, и нагрузишь их таким весом, чтобы он заставил их согнуться, то увидишь, что середина первая начнет сгибаться. Причина же этого та, что вес, помещенный сверху, опускается по всей опоре и кончается настолько же в основании, как и наверху; а если, как сказано выше, вес находится весь в (любой) части своей опоры, то та часть, которая является более слабой, представляет ему меньшее сопротивление, почему та часть может быть названа более слабой, которая более отделена от точек укрепления (firmamenti), т. е. середина, одинаково отстоящая от краев, укрепленных один — весом, другой — в земле. И если ты натянешь нить как бы на лук, укрепив ее в двух концах, то ты можешь сказать, что та часть этого куска дерева, которая более удалена от нити, наиболее слаба и она же является серединой.

"Та опора, перпендикулярная (perpendiculare) линия которой будет расположена вне центра лежащего на ней веса, согнется в сторону большей части этого веса.

"Это также доказывается разумом и подтверждается опытом. Разум нас принуждает следующим образом, а именно: если ты нагрузишь опору, перпендикулярная линия которой будет расположена так, что центр этой опоры будет помещен под центром веса, то она скорее воткнется, чем согнется, ибо все части веса соответствуют частям сопротивления.

"Невозможно, чтобы опора, перпендикулярная линия которой находится под центром лежащего на ней веса, могла при каких-нибудь условиях согнуться, — скорее она воткнет в землю свою нижнюю часть.

"Причина предложения "а" (см. выше) такова, что та часть опоры, которая находится под центром веса, становится как бы осью этого веса; когда же это так, то в ней остается почти вся сила, и так как та часть опоры, которая делается осью, не окружена и не вооружена равномерно всей толщиной опоры, то сгибается та часть, которая является более слабой" (А. 45 v.).

Эта ранняя запись уже показывает неоднократно констатированное нами в творчестве Леонардо слияние элементов опыта с элементами схоластически окрашенного рассуждения (с некоторым, естественным для ранних работ, преобладанием последнего). В ней мы видим попытку определить место, в котором согнется вертикальная опора под действием положенного на нее груза, и условия, при которых она согнется. При этом вторая и третья констатация Леонардо правильны, первая же (опора согнется в середине) — неправильна.

Запись, близкую тематически к вышеприведенной, мы находим в значительно более позднем кодексе "G".

"Та часть нити с равномерным сопротивлением легче рвется, которая чувствует больший вес, чем она сама. Доказывается это так: пусть нить аb, подвешенная в воздухе за верхний конец, может сопротивляться тысяче. Я утверждаю, что если такая нить весит сама по себе тысячу и один фунт, то она порвется ближе к концу а, где кончается длина, которая весит тысячу фунтов, чем в другом месте, в котором она весит девятьсот девяносто девять фунтов, ибо у такой нити остается еще сила (p) в один фунт. Будучи прибавлена к остальной части нити, она находится на последнем пределе всей ее силы (р), и тот вес, который будет прибавлен к такой нити, тотчас же порвет ее в верхнем пределе ста сотых ее длины и ее веса.

"Нить равномерной толщины и сопротивления, помещенная в разных положениях, будучи превзойдена весом, порвется в разных местах своей длины.

"Но если лук помещен вертикально (per diricto), тогда нить порвется в верхней части, где кончается ее прямое направление (rectitudine), и происходит это оттого, что сила нити вся находится во всей и вся в каждой части длины нити, но к этой силе прибавляется вес нити.

"Посмотри, где лук (il balestro) рвет свою тетиву, и поймешь, где она порвется, будучи превзойдена силой" (G. 80 r.).

В приведенном отрывке Леонардо возвращается к вопросу, который, как мы упоминали, ставил уже Альберти, — к вопросу о прочности подвешенной вертикально нити. Но в противоположность Альберти он не ставит эту прочность в зависимость от отношения длины к толщине, а рассматривает только груз, подвешенный к нити, и зависимость от него места разрыва.

Значительно больший интерес, чем записи, образцы которых мы привели выше, представляют собой записи, рисующие конкретные экспериментальные работы Леонардо над вопросами сопротивления материалов, вопросами не общетеоретического характера, а характера сугубо технического, прикладного. Одну из таких записей мы находим в сравнительно раннем кодексе "С":

"Сила. Я спрашиваю, будет ли вес лучше поддержан двумя ординарными скобками (рис. 193) (uncini), изображенными в ebd, или же одной двойной скобкой, как feq. Я утверждаю, что раньше сломается одна двойная скоба. Докажу я это на опыте при помощи железной проволоки равномерной толщины. Ибо ясно можно понять без сравнения, что железную проволоку легче согнуть, чем разорвать. Если нижняя часть (fondo) крючка (ranpino) будет нагружена излишним весом, то его точка укрепления е будет сопротивляться, но точка d, не будучи укреплена, будет повиноваться стремлению веса и вместе с ним направится к земле. Нижняя же часть двойной скобы е укреплена в fqnm и не может сдвинуться, если только опоры не сломаются, а нижняя часть е нагружена не только в середине, но по всей своей плоскости и не может отделиться одним отделением (non si po dividere in se d´una sola divisione), почему необходимо, чтобы, если опоры имеют равномерную толщину, эта нижняя часть сломалась в двух местах, а именно в n и т. Железная (петля) or не сможет сломаться ни в r, ни в боковых частях кольца pqfs, ибо каждая из этих боковых частей имеет наполовину меньше веса, чем пространство между р и о, почему петля и сломается между о и p" (С. 7 v.).

Ясно, что приведенная запись показывает нам Леонардо в разгаре его технических работ, пытающимся разрешить совершенно определенную задачу и еще не задающимся особыми теоретическими проблемами. Однако проблемы эти должны были возникнуть при расчленении объекта на его элементы и внимательном всматривании в эти элементы; такой подход сквозит из приведенных слов. Несколько общие, литературные и неуклюжие описания тех или иных технических явлений, которые мы встречали в писаниях Альберта или Джиорджио Мартини, заменяются цепким и трезвым анализом остро видящего практика-наблюдателя. Анализ этот не искажен никакими литературными влияниями и потому особенно плодотворен.

Еще более интересна несколько более поздняя запись, описывающая экспериментальную установку для испытания сопротивления проволоки на разрыв:

"Опыт с силой, которую может выдержать железная проволока разной длины.

"Запомни, как ты должен сделать опыт на подвес или какой вес может выдержать железная проволока.

"Для этого опыта поступай так (рис. 194). Привесь железную проволоку длиной в 2 локтя, или около того, в прочно укрепленное место, затем привесь к ней ведро (cavagno), или корзину (sporta), или что-нибудь другое по твоему усмотрению и в нее через маленькое отверстие в воронке (tramoggia) насыпай мелкого песку; когда эта железная проволока не сможет больше выдерживать и порвется, приладь клапан (moletta), который бы сразу закрыл воронку, так, чтобы песок больше не падал в корзину, которая упадет вниз... заметь, каков вес, который порвал эту проволоку; заметь, в каком месте эта проволока порвалась, и повтори много раз этот опыт, чтобы подтвердить, что она постоянно рвется в одном и том же месте. Затем сделай проволоку вдвое короче и заметь, насколько больше веса она выдерживает; затем сделай ее в ? длины первой и так раз за разом поступай с равными длинами, отмечая вес, которым каждая разрывается, и место, в котором разрывается.

Проделай этот опыт с каждым металлом и деревом, камнем, канатом и всяким веществом, способным выдерживать нагрузку, и выводи в каждом случае общий закон (regola generale); так же поступай с опорами земляными, т. е. такими, которые, поддерживая, имеют один свой конец укрепленным в земле или на земле" (С. А. 82 r. b.).

В данной записи, одной из самых ярких и выразительных вo всем научном наследии Леонардо, мы не находим результатов опытов, о которых она говорит, но зато самые эти опыты описаны точно и полно. Запись опять рисует нам Леонардо как сознательного, упорного экспериментатора, тщательно придумывающего и обстоятельно выполняющего ряд опытов, результаты которых и должны лечь в основу его дальнейших научных обобщений.

В общем раздел механики Леонардо, посвященный, условно говоря, сопротивлению материалов, отличается исключительно смелой постановкой вопроса, имеющей немногочисленных и весьма примитивных предшественников, и обычными для Леонардо попытками разрешить этот вопрос экспериментальным образом. Однако, хотя проблемы сопротивления материалов упорно и настоятельно ставились перед Леонардо-техником и Леонардо-ученым всей его инженерной деятельностью, всем его техническим окружением, и хотя проблемами этими он в ранние годы своей деятельности занимался очень много, он почти не добился ни окончательно правильных, ни сколько-нибудь устойчивых и сформулированных в общей форме решений. В процессе упорного экспериментирования Леонардо нередко подходил близко к правильным ответам. Но недостаточная математическая изощренность и неточные результаты экспериментов помешали ему облечь эти ответы в единственно доступную ему форму пропорции. Поэтому предлагаемые им решения только указывают пути для дальнейших плодотворных работ в данной области, пути, на которых самому Леонардо не суждено было дойти до какой-нибудь определенной цели.