Заметки по алгебре векторов
к курсу 
Линейная алгебра

Составил проф. Ю.А.Кругляк

Многие физические понятия такие, как скорость и ускорение тела, внешняя сила, приложенная к телу, электрические и магнитные поля и многие другие несут в себе информацию как о численном значении того или иного понятия, так и о направлении (в пространстве), ассоциируемом с этим понятием. Для полного определения таких понятий (свойств) требуется 3 числа (иначе, скаляра).  Такие понятия удобно обозначать одним символом и называются они векторами.
Многие другие величины, рассматриваемые в естественных науках и математике, имеют более сложную структуру. Так, для описания деформации упругого тела в точке необходимо уже 3² = 9 чисел, а для полной характеристики упругих свойств анизотропного тела требуется 3⁴ = 81 число. Соответствующие понятия называют тензорами, а показатель степени 3-ки (размерность координатного пространства) называют рангом тензора. В общей классификации векторы - это тензоры 1-го ранга (3¹ = 3 числа), а скаляры - тензоры ранга 0 (3⁰ = 1 число).

Графически вектор изображается направленным отрезком (стрелкой), показывающим направление вектора, а длина отрезка дает его величину (длину, модуль, абсолютное значение). В векторе важны две его точки: начала вектора О и конца вектора Q. Начало вектора О называют точкой приложения вектора. Этот вектор можно обозначить или просто Q, а величину вектора - Q или |Q|. Традиционно векторы помечают полужирным шрифтом или стрелкой (часто черточкой) над символом вектора. Вообще, чем проще обозначения, тем лучше, тем легче выписывать формулы. Мы будем пользоваться разными обозначениями для векторов и их величин. Недоразумения не возникнет, поскольку из контекста всегда ясно, о чем именно идет речь.

Направление вектора можно задать, например, углом  как на этом рисунке. Это плоская (2-хмерная, 2D) прямоугольная декартова система координат. Договорились угол наклона отсчитывать от оси абсцисс к вектору против часовой стрелки. Направление отсчета угла играет важную роль.

Для построения алгебры векторов потребуется такое понятие как нулевой вектор или нуль-вектор. Нуль-вектор 0 не имеет длины и его направление не определено, фактически это число 0.

Сложение и вычитание векторов

В алгебре векторов определены операции сложения, вычитания и умножения. Понятие деления на вектор не существует. Для построения векторной алгебры договорились два вектора считать равными, если они имеют одно и то же направление и длины их равны (угол между ними равен нулю). При этом не имеет значения, в разных точках или в одной и той же точке векторы берут свое начало. Другими словами, если векторы при параллельном переносе совмещаются, то они равны. Параллельный перенос осуществляется таким образом, чтобы линия, соединяющая концы векторов А и В, была параллельная линии, соединящей начала этих векторов.

 

Антипараллельные (антинаправленные) векторы А и - А имеют одну и ту же величину и направлены в противоположные стороны (угол между ними равен 180). Такие векторы равны с точностью до знака. Убедиться в антинаправленности вектора и обратного ему можно здесь.
Сложение и вычитание векторов можно выполнить двумя способами: графически и алгебраически.

Сначала рассмотрим графический метод.

Сложение: a + b

Складываемые векторы могут быть расположены произвольным образом друг относительно друга. Для графического сложения векторов сначала нужно совместить начала обоих векторов без изменения их направления. Это всегда можно сделать параллельным переносом одного из векторов или обоих векторов. На этом рисунке вектор b параллельно перенесен таким образом, чтобы совместились начала обоих векторов. Теперь строится параллелограм на векторах a и b как на образующих. Та диагональ параллелограма, которая проходит через начало складываемых векторов, даст вектор суммы векторов a + b. Векторы складываются (и вычитаются, как мы убедимся в этом ниже) по "правилу параллелограма". Зайдите сюда или сюда и потренируйтесь интерактивно в сложении векторов.

Можно поступить иначе. На этом рисунке вектор В сначала параллельно смещен таким образом, чтобы его начало совместилось с концом вектора А. Результирующий вектор С = А + В соединяет начало вектора А и конец вектора В. Оба графических построения дают, очевидно, один и тот же результат.

Операция сложения векторов коммутативна (перестановочна): A + B = B + A. Убедитесь в этом интерактивно здесь.

 

Выполняется также ассоциативный закон:A + B + C = A + (B + C) = (A + B) + C = D. Графическое доказательство ассоциативности сложения векторов видно из рисунка: результирующий вектор D можно получить либо сложив вначале (A + B) = Е, а затем Е + С =  D, либо сначала (B + C) = F, а затем А + F = D.

Вычитание: a - b

Вернемся к рис. 5. Вторая диагональ параллелограма на рис. 5 дает величину вектора разности a - b векторов a и b. При этом направление вектора разности векторов a и b определяется от конца вектора b к концу вектора a. Чтобы убедиться в этом, нам нужно рассмотреть умножение вектора на скаляр. Скалярные величины характеризуются только одним числом и не имеют направления, они могут быть как положительными, так и отрицательными.

При умножении вектора на положительное число величина вектора увеличивается или уменьшается на это число без изменения направления вектора. На этом рисунке вектор b умножен на 0.5 и на 2.

При умножении вектора на отрицательное число направление вектора меняется на противоположное, величина же вектора увеличивается или уменьшается на абсолютную величину числа.

Умножим на -1 вектор b на рис. 5. Получим вектор -b. Остается сложить вектор -b с вектором a по правилу параллелограма. Получим вектор разности a - b. Сравнение этого рисунка и рис. 5 показывает, что вектор разности соответствует второй диагонали параллелограма и направлен от конца вектора b к концу вектора a.

 

На этом рисунке вычитание векторов А - В = С делается несколько иначе: вектор - В, обратный вычитаемому вектору В, переносится параллельно в конец вектора А, затем суммируется с ним. Сделайте упражнения по вычитанию векторов здесь и убедитесь, что вычитание векторов антикоммутативно, т.е. разность векторов меняет знак на обратный при замене местами слагаемых.
 

Координатное представление векторов

Рассмотрим теперь алгебраическое представление векторов. Его иначе называют координатным представлением. 

Построим для вектора a на этом рисунке его проекции на оси системы координат. Для этого опускают перпендикуляры из точек начала и конца вектора на оси выбранной системы координат. Отрезки a_x и a_y , вырезаемые на осях, и есть проекции вектора. Это числа. Если вектор соответствует размерной физической величине, то эта размерность присваивается именно проекциям вектора. Например, проекции вектора скорости имеют (в системе единиц СИ) физическую размерность [м/с], как и сам вектор скорости.

Для алгебраической записи вектора нужны единичные векторы (орты, базисные векторы) i и j. Они всегда направлены в сторону возрастания числовых значений осей системы координат и величина их всегда равна одной единице той величины, которая отложена на данной оси. На этом рисунке орты изображены так, что их начало совпадает с точкой пересечения координатных осей. Эта точка не обязательно соответствует началу системы координат, под которым подразумевают точку совмещения нулей координатных осей и обычно обозначают буквой О. Такое изображение ортов не обязательно. Орты можно изображать в любом месте на координатной оси, более того - в любом месте рисунка, лишь бы они имели единичную величину и были сонаправлены с осями координат. Задание ортов означает задание (выбор) системы координат. Ортам не присваивается физическая размерность, они безразмерны.
Для 3-хмерной прямоугольной (ортогональной) декартовой системы координат потребуется также орт k вдоль оси z.
Нередко орты обозначают одной и той же буквой e с нижним индексом (x, y, z или 1, 2, 3) для соответствующей координатной оси. Иногда над значком орта ставят "шляпку", например,  (читается "а со шляпкой"),  = ,  =  и т.д.

Из правила умножения вектора на скаляр и правила сложения векторов следует, что вектор a можно записать в алгебраическом виде: a = a_xi + a_yj. Слагаемые в этой сумме есть векторы. Их называют вектор-проекциями исходного вектора а, т.е. вектор-проекция некоторого вектора на данную координатную ось есть произведение орта этой оси на соответствующую проекцию вектора. Полученное выражение называют "разложением вектора на его проекции" или "разложением вектора по ортам". Аналогичное выражение можно написать для вектора b на приведенном выше рисунке.

Тогда из простых геометрических построений следует, что для суммы векторов имеем:

a + b = (ax + bx)i + (ay + by)j + (az + bz)k.

Таким образом, каждая проекция суммы векторов равна сумме соответствующих проекций этих векторов.

Еще раз о проекциях и вектор-проекциях вектора. Проекции векторов - скаляры. Будучи помноженными на соответствующие орты, они становятся вектор-проекциями. Числа A_x и A_y на этом рисунке есть проекции вектора А. Будучи помноженными на соответствующие орты  = A_x и  = A_y , они образуют вектор-проекции, так что A = A_x + A_y.

В выбранной системе координат разложение вектора на его проекции выполняется единственным возможным образом. В различных же системах координат, скажем, повернутых и/или сдвинутых одна относительно другой, один и тот же вектор, очевидно, разлагается по-разному (на различные проекции). Сам же вектор, естественно, остается неизменным - ни его длина, ни его направление не изменяются (инвариантны) при переходе от одной системы координат к другой. Вектор, как количественное описание какого-либо физического свойства - инвариантен по отношению к выбору системы координат.
Систему координат выбирают обычно таким образом, чтобы окончательные расчетные уравнения получились бы как можно более простыми.
Применение теоремы Пифагора к разложению вектора на его проекции  дает формулу для вычисления модуля вектора  .

Разложение векторов на их проекции (в одной и той же системе координат) позволяет легко сложить (вычесть) вектора аналитически. Пусть нам известны разложения трех векторов на их проекции :

Из графического суммирования

хорошо видно, что проекции результирующего вектора Dx = Ax + Bx + Cx , Dy = Ay + By + Cy .

 

Если известны величина вектора и его ориентация относительно выбранной системы координат, то легко найти проекции вектора. Пусть ориентация вектора задана его углом  относительно оси абсцисс. Тогда cos = A_x/|A| и A_x = |A| cos.

Для y-компоненты имеем: A_y = |A| cos(90 - ) = |A| sin.
 
 

Для любого вектора полезно ввести его собственный единичный вектор:

Из левого равенства следует, что любой вектор всегда равен его величине, умноженной на его собственный единичный вектор. Поскольку модуль любого числа, по определению, всегда положителен, то вектор и его собственный единичный вектор всегда сонаправлены. Правое равенство получается из теоремы Пифагора.

Наряду с декартовой системой координат часто используется полярная система координат. Положение точки относительно декартовой системы координат задается однозначно на этом рисунке отрезком r между началом системы координат и рассматриваемой точкой и углом  между осью абсцисс и отрезком, при этом договорились угол отсчитывать от оси абсцисс против часовой стрелки. Такую пару переменных называют полярными координатами точки.
 

Орты полярных координат и определяются из тех же принципов, что и для декартовых координат: они должны быть ортогональны и направлены в сторону возрастания полярных координат:

Соотношения между ортами полярных координат и декартовых очевидны из следующего рассмотрения:

Векторы в 3-хмерном пространстве

На этом рисунке показано разложение вектора d на его проекции l, w, h в декартовой 3D-системе координат. Это правая система координат: оси y, z лежат в плоскости экрана, а ось x направлена наружу от экрана. В левой системе координат ось x направлена внутрь экрана (или, например, ось z направлена вниз) при той же ориентации двух остальных осей. Отличить правую систему от левой можно по "правилу буравчика" (правило "правой руки"). Если не оговорено противное, в расчетах всегда используется правая система координат.
Алгебраическое разложение вектора d имеет вид: d = d_xi + d_yj + d_zk . Пусть точка пересения осей на этом рисунке совпадает с началом системы координат, т.е. эта точка (начало вектора d) имеет координаты (0, 0, 0). Тогда конец вектора имеет координаты (l, w, h), а его проекции равны: d_x =  l - 0 , d_y = w - 0 , d_z = h - 0. Таким образом, d = l i + w j + h k .
Рассмотрим вектор v на этом рисунке. Координаты конца вектора и его начала таковы: (l, 0, h) и (l, w, 0). Попарное вычитание координат дает проекции вектора v = 0 i - w j + h k . Для собственного орта вектора d, очевидно, имеем :

Произведение векторов

При перемножении векторов можно получить как скаляр, так и вектор. Поэтому в алгебре векторов вводятся два различных произведения векторов: скалярное (внутреннее) произведение (a^.b), результатом которого является скаляр (число), и векторное произведение (a x b), результатом которого является новый вектор.Скалярные произведения обозначают также как a^.b или (a,b) или просто ab, а векторные как a x b или [a,b].

Примеры из механики: работа и мощность даются скалярными произведениями вектора внешней силы, приложенной к телу, на вектор перемещения тела (работа) и соответственно на вектор скорости тела (мощность), а моменты импульса тела или силы, приложенной к телу, даются векторными произведениями радиуса-вектора тела на его импульс (момент импульса) или соответственно на вектор силы (момент силы или вращательный момент).

 
Скалярное произведение двух векторов, угол между которыми пусть будет , определяется как a^.b = |a||b| cos(). Из четности косинуса [cos(x) = cos (-x)] следует коммутативность (перестановочность) скалярного произведения: a^.b = b^.a.
Если a^.b = 0, то либо |a| = 0, либо |b| = 0, либо  = pi/2. В последнем случае вектора взаимно перпендикулярны (ортогональны). Это уравнение есть условие ортогональности двух произвольных векторов.

Зная модули векторов и их скалярное произведение, можно определить угол между векторами: cos() = a.b / |a| |b|.

Дадим сводку основных свойств скалярного произведения векторов:

Равенство (1) констатирует коммутативность скалярного произведения, а равенства (2) и (3) указывают на его дистрибутивность.

 

Для одноименных ортов имеем , поскольку угол между вектором и им самим равен нулю, а для разноименных ортов , поскольку угол между ними прямой.

Векторное произведениевекторов a и b порождает новый вектор c : a x b = c . Как и любой другой вектор, его можно представить в виде произведения модуля вектора |c| на его собственный орт : c = |c| e. Величина вектора дается выражением |c| = |a| |b| |sin()|, а направление е вектора с таково, что вектор с перпендикулярен к плоскости, образуемой перемножаемыми векторами, и тройка векторов a, b, c должна быть правой.
Зайдите на эту страницу и выполните несколько упражнений. Они позволят вам визуально представить себе результирующий вектор и посмотреть как он меняется при изменении перемножаемых векторов и угла между ними.
Из нечетности синуса [sin(x) = - sin(-x)] следует антикоммутация сомножителей в векторном произведении: a x b = - b x a .

Орты i, j, k прямоугольной декартовой (правой) системы координат x, y, z, соответственно, называют базисными векторами 3-хмерного пространства. Они образуют ортогональный базис, поскольку каждый их трех векторов перпендикулярен двум другим. Левая система ортов (координат) получается при одной из трех возможных перестановой: i <=> j, i <=> k, j <=> k или путем одной из трех возможных замен ортов на их обратный: i <=> - i, j <=> - j, k <=> - k.

Рассмотрим теперь скалярное произведение векторов в координатном представлении. Разложим каждый из перемножаемых векторов на проекции, раскроем скобки и скомпонуем 9 слагаемых для наглядности в виде таблицы :

Для нахождения угла между векторами, заданными их проекциями, нужно знать само скалярное произведение, а также длины векторов. Эти три числа легко находятся через проекции векторов.
В механике приходится вычислять тангенциальные и нормальные векторы. Для этого тоже используются скалярные произведения.

Проектирование векторов друг на друга

Рассмотрим два вектора А и В. Спроектируем вектор А на вектор В. Сначала вектор В параллельно перенесем так, чтобы совместились начала обоих векторов. Затем с конца вектора А опустим перпендикуляр на вектор В. Отрезок длиной А1 называют проекцией вектора А на вектор В, а соответствующий вектор А1 называют вектор-проекцией. Если известен угол между векторами (А^B), то проекция А1 = А cos (А^B), а вектор-проекция А1 = А1b, где b есть собственный орт вектора В = Вb, т.е. b = B / |B|.
Косинус угла между векторами cos (А^B) = ab, где а - собственный орт вектора А. Тогда А1 = Ааb = Ab, а вектор-проекция А1 = (Ab)b. Вектор-проекция А2 вектора А на направление, перпендикулярное к вектору В, есть, очевидно, A2 = A - A1.
При проектировании вектора В на А имеем: проекция В1 = Ва, вектор-проекция В1 = (Ba)a, В2 = В - В1.

Теперь рассмотрим векторное произведение векторов в координатном представлении. Имеем :
 

Поскольку sin() = 0 для  = 0, то диагональные произведения ортов i x i = j x j = k x k = 0, а недиагональные произведения i x j =k , i x k = - j , j x k = i и так далее в соответствии с "правилом правой руки".

Для определения перекрестных произведений удобно пользоваться мнемонической схемой в виде круговой диаграммы. Если в паре перемножаемых векторов движение от первого (левого) сомножителя ко второму (правому) идет по часовой стрелке, то результирующий вектор (третий) берется со знаком "плюс", если против часовой стрелки, то со знаком "минус", например, k x j = -i.
 

В результате девятичленная сумма упрощается до

a x b = (axi x byj) + (axi x bzk) + (ayj x bxi) + (ayj x bzk) + (azk x bxi) + (azk x byj) = = (ay bz - az by) i + (ax by - ay bx) k + (az bx - ax bz) j

или в более наглядной и запоминаемой записи через определитель (детерминант) 3-его порядка:

.

Тройное смешанное произведение [A x B]C

Рассмотрим два вектора А и B с углом  между ними. Они служат образующими параллелограма. Площадь этого параллелограма равна модулю векторного произведения |A x B| = AB sin . Вспомните из школьной геометрии, что площадь параллелограма равна произведению основания параллелограма на его высоту. Роль основания на этом рисунке играет длина А вектора А, а высота равна B sin .

Теперь рассмотрим тройное смешанное произведение [A x B] C трех векторов A, B, C . Вектор [A x B] множится скалярно на C. В результате получается скаляр |AxB| |C| cos , где |A x B| = AB sin  есть плошадь основания параллелепипеда, построенного на векторах A, B, C, как его образующих, а |C| cosесть высота параллелепипеда. Таким образом, произведение [A x B]C дает объем параллелепипеда, построенного на векторах A, B,C.
Заметим также, что произведение [A x B] C можно представить определителем 3-го порядка, первая строка которого содержит компоненты вектора А, вторая - компоненты вектора В, третья - вектора С.
В физических приложениях вектор A x B называют вектором площадки, образованной векторами А и В.